از ۲۰ توپ شمارهدار ۳ توپ انتخاب میکنیم، تابع توزیع چگالی متغیرتصادفی بزرگترین شمارهٔ انتخابشده را بیابید.

Question

یک جعبه شامل 20 توپ یکسان است که از 1 تا 20 شماره‌گذاری شده اند. 3 توپ انتخاب می‌کنیم. متغیر تصادفی بزرگترین شمارهٔ انتخاب‌شده را در نظر بگیرید. مطلوب است؛

1. تابع احتمال،
2. نمودار تابع احتمال،
3. احتمال آن که عددی بزرگتر از 17 انتخاب شود.

Answer 1

متغیر تصادفیِ اشاره‌شده را با $X$ نشان دهید. ۳ شماره از ۲۰ شماره را انتخاب می‌کنید که $\binom{20}{3}$ برآورد ممکن دارد. اکنون هر برآوردی که روی داده‌است، بیشینهٔ سه عدد (متمایز) آن را برمی‌دارید. این مقدار، برآمدِ $X$ است. توجه کنید که آشکارا این عدد نمی‌تواند بزرگتر از ۲۰ باشد و همین‌طور کوچکتر از ۱. اما مقدارهای ۱ و ۲ هم اتخاذ نخواهند شد، چون اگر بیشینه ۱ یا ۲ باشد آنگاه باید دو عدد دیگر از ۱ (یا ۲) کوچکتر باشند ولی دو عدد کوچکتر از ۱ (یا ۲) در بین این اعداد وجود ندارند (کوچکتر از ۱ هیچ و کوچکتر از ۲ فقط یک عدد وجود دارد). پس احتمال اینکه $X$ برابر با ۱ یا ۲ یا عددی بزرگتر از ۲۰ یا کوچکتر از ۱ شود صفر است. اکنون $n$ را یک عدد بین ۳ تا ۲۰ در نظر بگیرید. برای اینکه $X=n$ شود باید این عدد انتخاب شده‌باشد و بعلاوه دو عدد دیگر از اعداد کوچکتر از $n$ انتخاب شده‌باشند (برای این دو عدد مقدارهای ۱ و ۲ قابل قبول است). در نتیجه $\binom{n-1}{2}$ انتخاب ممکن برای ۳ شماره هست که بیشینه‌شان $n$ شود. پس پاسخ قسمت یک این می‌شود:

$$P(X=n)=\left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{\binom{n-1}{2}}{\binom{20}{3}} & ;\;n\in\{3,4,\cdots,20\}\\ 0 & ;\;\text{otherwise}\end{array}\right.$$ توجه کنید که $\sum_{n=3}^{20}\binom{n-1}{2}=\binom{20}{3}$.

برای رسم نمودار توزیع چگالی این متغیر تصادفی کافیست کسر مربوط به احتمال ۱۸ برآورد ممکن را که در بالا داده‌شده‌است محاسبه و سپس نمودار میله‌ای را رسم کنید. من این کار را با نرم‌افزار Maple انجام دادم. با استفاده از بستهٔ Statistics ابتدا متغیر تصادفی گسسته‌تان را تعریف می‌کنید (فضای پیش‌آمد و احتمال مربوط به هر برآورد را به نرم‌افزار می‌دهید). سپس دستور رسم توزیع چگالی را وارد می‌کنید. حاصل به شکل زیر می‌شود. در پایان پاسخ قسمت آخر جمع احتمال برآوردهای مطلوب می‌شود که در اینجا یعنی روی‌دادن $X=18$ تا $X=20$.

$$\sum_{n=18}^{20}P(X=n)=\frac{23}{57}\simeq0.4035$$