اثبات کنید معادله ی خطی که از وسط دو خط موازی می گذرد و با آنها موازی است برابر است با:$ax+by+ \frac{c+ \acute{c}}{2}=0 $

Question

اثبات کنید معادله ی خطی که از وسط دو خط موازی $ax+by+c=0$ و $ax+by+ \acute{c}=0 $ می گذرد و با آنها موازی است برابر است با: $$ax+by+ \frac{c+ \acute{c}}{2}=0 $$

Answer 1

معادله این خط به صورت $ax+by+d=0$خواهدبود.باتوجه به نقاط عرض ازمبدأ

$(0 , -\frac{c}{b}),(0, -\frac{ c^{'} }{b}) $دوخط داده شده،باید از وسط اینهایعنی $(0 , -\frac{c+c^{'}}{2b}) $ بگذردکه باجانشینی درمعادله این خط$d=\frac{c+c^{'}}{2b}$ ومعادله خط می شود

$ ax+by+\frac{c+c^{'}}{b}=0 $

Answer 2

شکل زیر را در نظر بگیرید :

حال میدانیم که نقطه $B$ در خط $ax+by+c=0$ صدق میکند در نتیجه :

$$ax_0+by_0+c=0$$

و همچنین میدانیم که نقطه $C$ در خط $ax+by+c'=0$ صدق میکند در نتیجه :

$$ax_1+by_1+c'=0$$

حال دو معادله داریم دوتاشو با هم جمع میکنیم یعنی :

$$ax_1+by_1+c'+(ax_1+by_1+c')=0 \\ (ax_1+ax_0)+(bx_1+bx_0)+(c+c')=0 \\ a(x_1+x_0) +b(y_1+y_0)+(c+c')=0$$

حال دو طرف را تقسیم بر دو میکنیم یعنی :

$$a\frac{(x_1+x_0) }{2}+b\frac{(y_1+y_0)}{2}+\frac{(c+c')}{2}=0$$

$\frac{x_0+x_1}{2}$ طول نقاط واقع در خط وسط . وتعریف میکنیم : $$\frac{x_0+x_1}{2}:=X$$

$\frac{y_0+y_1}{2}$ عرض نقاط واقع در خط وسط . و تعریف میکنیم :

$$\frac{y_0+y_1}{2}:=Y$$

در نتیجه :

$$aX+bY+\frac{(c+c')}{2}=0$$

و این یعنی معادله خط میانی . و اثبات کامل شد .

$\Box .$