برای حلّ این سؤال از یکی از قوانین کسر ها استفاده می کنیم اگر:
$ \frac{m}{n}= \frac{p}{q} $
می توان گفت:
$ \frac{m}{n}= \frac{p}{q}= \frac{m+p}{n+p} $
اثبات این قاعده به راحتی امکان پذیر است امّا برای کوتاهی کار از اثبات آن صرف نظر می کنیم.
حال می رویم سراغ خود سؤال:
فرض می کنیم که $ \frac{a}{b}< \frac{c}{d} $
پس عددی حقیقی مثل $ \frac{c ' }{d} $وجود دارد که برابر با $ \frac{a}{b} $باشد.داریم:
$ \frac{a}{b} = \frac{c '}{d}= \frac{a+c \prime }{b+d} $
از آنجا که $ \frac{a}{b}= \frac{c \prime}{d}< \frac{c}{d} $پس می توان گفت که $c \prime <c$
پس$ \frac{a+c \prime }{b+d}= \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} $
نیمی از مسئله اثبات شد.
برای اثبات نیمۀ دیگر از عکس همین کار استفاده می کنیم.
می گوییم عددی حقیقی مثل $ \frac{a \prime }{b} $وجود دارد که با $ \frac{c}{d} $برابر باشد.پس:
$ \frac{c}{d}= \frac{a \prime }{b}= \frac{a \prime +c}{b+d} $
از آنجا که $ \frac{a}{b} < \frac{c}{d}= \frac{a \prime }{b} $پس می توان گفت که $a \prime >a$
پس $ \frac{a+c}{b+d}< \frac{a \prime +c}{b+d}= \frac{c}{d} $
حال نیمۀ بعدی مسئله نیز ثابت شد.پس داریم:
$ \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d} $
نکته بعد در خصوص این اثبات این است که اگر کسر بخواهد منفی باشد ما منفی را در صورت کسر فرض کرده ایم!
