فرض کنید یکی از خطوط $ ax+by+c=0 $ و خط دیگر $ ax+by+c^{'}=0 $ باشد.
می دانیم فاصله ی نقطه دلخواه $(x_0, y_0) $ از خط $ ax+by+c=0 $ از رابطه ی زیر بدست می آید.
$$ \frac{ \mid ax_0+by_0+c \mid }{ \sqrt{a^2+b^2} } $$
نقطه ی $(x_1, y_1) $ روی خط $ ax+by+c^{'}=0 $ را در نظر بگیرید فاصله ی این نقطه از خط $ ax+by+c=0 $ همان فاصله ی دو خط است. طبق فرمول گفته شده داریم برابر است با $$\frac{ \mid ax_1+by_1+c \mid }{ \sqrt{a^2+b^2} } $$
اما از آنجایی که $(x_1, y_1) $ نقط ایی از خط $ ax+by+c^{'}=0 $ است پس داریم:
$$ax_1+by_1+c^{'}=0 \Rightarrow ax_1+by_1=-c^{'} $$ که با جایگذاری در رابطه ی بالا داریم:
$$\frac{ \mid c-c^{'} \mid }{ \sqrt{a^2+b^2} } $$
اگر به سوال زیر مراجعه کنید اثبات رابطه ی فاصله ی یک نقطه از یک خط را پیدا می کنید.
اثبات فرمول فاصله نقطه از خط
