نخست توجه کنید که برای یک مجموعهٔ دلخواه دو مفهومی که در پرسش دارید الزاما معنا ندارند. پس فرض میکنیم منظور پرسش در یک فضای مجهز به یک توپولوژی و به یک رابطهٔ ترتیب جزئی (یا کلی) صحبت میکند.
به عنوان مثال نقض برای گزارهٔ آمده در پرسش مجموعهٔ $\mathbb{R}$ را به همراه متر اقلیدسیاش و رابطهٔ کوچکتریِ معمولی اعداد در نظر بگیرید. یک فضای متریک یک فضای توپولوژی نیز است. اکنون زیرمجموعهٔ $\mathbb{Z}$ از آن را در نظر بگیرید. بستار این مجموعه خودش میشود و درون این مجموعه تهی میشود پس به طور بدیهی مجموعهٔ نقطههای مرزیاش که تفاضل مجموعهٔ نقطههای درونی از بستار است، با خودش برابر میشود و چون مجموعهای ناتهی است پس مجموعهٔ نقطههای مرزیاش ناتهی است. در نتیجه «دارای مرز است». اما از طرفی هیچ عضو بیشینه یا کمینهای ندارد (چون از بالا و پائین نسبت به رابطهٔ ترتیبمان، یعنی کوچکتری معمولی اعداد بیکران است).
