آیا هر مجموعه ای با مرز ناتهی دارای بیشینه و کمینه است؟

Question

با سلام. آیا می‌شود گفت که مجموعه‌ای که شامل مرز است حتما ماکسیمم یا مینیمم دارد؟ یا ممکن است مجموعه‌ای مرز هم داشته باشد ولی نه ماکسیمم و نه مینیمم داشته باشد؟

Comments

منظورتون از ماکسیمم یا مینیمم دارد چیست؟ برای یک مجموعه  در یک توپولوژی ماکسیمم را چی تعریف میکنید؟

Answer 1

نخست توجه کنید که برای یک مجموعهٔ دلخواه دو مفهومی که در پرسش دارید الزاما معنا ندارند. پس فرض می‌کنیم منظور پرسش در یک فضای مجهز به یک توپولوژی و به یک رابطهٔ ترتیب جزئی (یا کلی) صحبت می‌کند.

به عنوان مثال نقض برای گزارهٔ آمده در پرسش مجموعهٔ $\mathbb{R}$ را به همراه متر اقلیدسی‌اش و رابطهٔ کوچکتریِ معمولی اعداد در نظر بگیرید. یک فضای متریک یک فضای توپولوژی نیز است. اکنون زیرمجموعهٔ $\mathbb{Z}$ از آن را در نظر بگیرید. بستار این مجموعه خودش می‌شود و درون این مجموعه تهی می‌شود پس به طور بدیهی مجموعهٔ نقطه‌های مرزی‌اش که تفاضل مجموعهٔ نقطه‌های درونی از بستار است، با خودش برابر می‌شود و چون مجموعه‌ای ناتهی است پس مجموعهٔ نقطه‌های مرزی‌اش ناتهی است. در نتیجه «دارای مرز است». اما از طرفی هیچ عضو بیشینه یا کمینه‌ای ندارد (چون از بالا و پائین نسبت به رابطهٔ ترتیب‌مان، یعنی کوچکتری معمولی اعداد بی‌کران است).

Answer 2

تابع پیوسته روی مجموعه ی بسته دارای ماکزیمم یا مینیمم است اما اگر پیوسته نباشد لزوما ماکزیمم یا مینیمم ندارد مثلا

$f(x) =\begin{cases}1 & x = 0\\ \frac{1}{x} & x\in[-1,0) \cup (0,1] \end{cases}$

Comments

منظورم در فضای متریک نیست.   در فضای توپولوژیک به چه شکلی میشه  بیان کرد.