به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
593 بازدید
در دانشگاه توسط Mohsenn (258 امتیاز)
ویرایش شده قبل توسط AmirHosein

با سلام. آیا می‌شود گفت که مجموعه‌ای که شامل مرز است حتما ماکسیمم یا مینیمم دارد؟ یا ممکن است مجموعه‌ای مرز هم داشته باشد ولی نه ماکسیمم و نه مینیمم داشته باشد؟

توسط erfanm (13,397 امتیاز)
+1
منظورتون از ماکسیمم یا مینیمم دارد چیست؟ برای یک مجموعه  در یک توپولوژی ماکسیمم را چی تعریف میکنید؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
قبل توسط AmirHosein (12,746 امتیاز)
انتخاب شده قبل توسط Mohsenn
 
بهترین پاسخ

نخست توجه کنید که برای یک مجموعهٔ دلخواه دو مفهومی که در پرسش دارید الزاما معنا ندارند. پس فرض می‌کنیم منظور پرسش در یک فضای مجهز به یک توپولوژی و به یک رابطهٔ ترتیب جزئی (یا کلی) صحبت می‌کند.

به عنوان مثال نقض برای گزارهٔ آمده در پرسش مجموعهٔ $\mathbb{R}$ را به همراه متر اقلیدسی‌اش و رابطهٔ کوچکتریِ معمولی اعداد در نظر بگیرید. یک فضای متریک یک فضای توپولوژی نیز است. اکنون زیرمجموعهٔ $\mathbb{Z}$ از آن را در نظر بگیرید. بستار این مجموعه خودش می‌شود و درون این مجموعه تهی می‌شود پس به طور بدیهی مجموعهٔ نقطه‌های مرزی‌اش که تفاضل مجموعهٔ نقطه‌های درونی از بستار است، با خودش برابر می‌شود و چون مجموعه‌ای ناتهی است پس مجموعهٔ نقطه‌های مرزی‌اش ناتهی است. در نتیجه «دارای مرز است». اما از طرفی هیچ عضو بیشینه یا کمینه‌ای ندارد (چون از بالا و پائین نسبت به رابطهٔ ترتیب‌مان، یعنی کوچکتری معمولی اعداد بی‌کران است).

+2 امتیاز
توسط erfanm (13,397 امتیاز)

تابع پیوسته روی مجموعه ی بسته دارای ماکزیمم یا مینیمم است اما اگر پیوسته نباشد لزوما ماکزیمم یا مینیمم ندارد مثلا

$ f(x) =\begin{cases}1 & x = 0\\ \frac{1}{x} & x\in[-1,0) \cup (0,1] \end{cases} $
توسط Mohsenn (258 امتیاز)
ویرایش شده توسط Mohsenn
منظورم در فضای متریک نیست.   در فضای توپولوژیک به چه شکلی میشه  بیان کرد.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...