پرسش اول: چگونه به این نامساوی رسید؟
نامساوی $1 \le \left( \sum_{k=1}^{n} (p_k - \alpha)^2 + \alpha^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + (\sum_{k=1}^{n} a_k)^2 \right)$ از نامساوی کوشی-شوارتز به دست آمده است. ما با اتحاد زیر شروع می کنیم:
$1 = \sum_{k=1}^{n} p_k a_k = \sum_{k=1}^{n} (p_k - \alpha) a_k + \alpha \sum_{k=1}^{n} a_k$.
بردارهای زیر را در نظر بگیرید: $\mathbf{u} = ((p_1 - \alpha), (p_2 - \alpha), ..., (p_n - \alpha), \alpha)$ و $\mathbf{v} = (a_1, a_2, ..., a_n, \sum_{k=1}^{n} a_k)$. حاصل ضرب داخلی این بردارها عبارت است از:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{n} (p_k - \alpha) a_k + \alpha \sum_{k=1}^{n} a_k = 1$.
طبق نامساوی کوشی-شوارتز، $(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2 \le \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2$.
$\|\mathbf{u}\|^2 = \sum_{k=1}^{n} (p_k - \alpha)^2 + \alpha^2$
$\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + (\sum_{k=1}^{n} a_k)^2$
بنابراین، $1^2 \le \left( \sum_{k=1}^{n} (p_k - \alpha)^2 + \alpha^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + (\sum_{k=1}^{n} a_k)^2 \right)$.
پرسش دوم: چگونه به این حدس میتوان رسید؟
منظور از «حدس»، انتخاب $\alpha = \frac{\sum_{k=1}^{n} p_k}{n+1}$ است. این مقدار α انتخاب شده است تا کران پایین برای $E$ را ماکزیمم کند. از نامساوی به دست می آوریم:
$E \ge \frac{1}{\sum_{k=1}^{n} (p_k - \alpha)^2 + \alpha^2}$.
برای ماکزیمم کردن کران پایین، باید مخرج $D(\alpha) = \sum_{k=1}^{n} (p_k - \alpha)^2 + \alpha^2$ را کمینه کنیم.
$D(\alpha) = \sum_{k=1}^{n} (p_k^2 - 2\alpha p_k + \alpha^2) + \alpha^2 = \sum_{k=1}^{n} p_k^2 - 2\alpha \sum_{k=1}^{n} p_k + n\alpha^2 + \alpha^2 = \sum_{k=1}^{n} p_k^2 - 2\alpha \sum_{k=1}^{n} p_k + (n+1)\alpha^2$.
برای یافتن کمینه $D(\alpha)$، مشتق نسبت به $\alpha$ می گیریم و آن را برابر صفر قرار می دهیم:
$\frac{dD}{d\alpha} = -2 \sum_{k=1}^{n} p_k + 2(n+1)\alpha = 0$
$\alpha = \frac{\sum_{k=1}^{n} p_k}{n+1}$.
پرسش سوم: مقدار $a_k$ چگونه بهدست آمد؟
تساوی در نامساوی کوشی-شوارتز برقرار می شود زمانی که بردارهای $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$ وابسته خطی باشند، یعنی $\mathbf{v} = c \mathbf{u}$ برای یک ثابت $c$. این به این معنی است:
$a_k = c(p_k - \alpha)$ برای $k=1, \dots, n$
$\sum_{k=1}^{n} a_k = c \alpha$
از معادله دوم، $c = \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k}{\alpha}$. با جایگذاری این مقدار در معادله اول:
$a_k = \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k}{\alpha} (p_k - \alpha)$.
همچنین محدودیت $\sum_{k=1}^{n} p_k a_k = 1$ را داریم. با جایگذاری عبارت $a_k$:
$\sum_{k=1}^{n} p_k \frac{\sum_{j=1}^{n} a_j}{\alpha} (p_k - \alpha) = 1$
$\frac{\sum_{j=1}^{n} a_j}{\alpha} \sum_{k=1}^{n} (p_k^2 - \alpha p_k) = 1$
$\frac{\sum_{j=1}^{n} a_j}{\alpha} (\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - \alpha \sum_{k=1}^{n} p_k) = 1$.
فرض کنید $S = \sum_{k=1}^{n} a_k$ و $P = \sum_{k=1}^{n} p_k$. سپس $\alpha = \frac{P}{n+1}$.
$\frac{S}{P/(n+1)} (\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - \frac{P}{n+1} P) = 1$
$S \frac{n+1}{P} \frac{(n+1)\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - P^2}{n+1} = 1$
$S = \frac{P}{(n+1)\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - P^2}$.
حال به رابطه $a_k = \frac{S}{\alpha} (p_k - \alpha)$ برگردید:
$a_k = \frac{\frac{P}{(n+1)\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - P^2}}{P/(n+1)} (p_k - \frac{P}{n+1})$
$a_k = \frac{n+1}{(n+1)\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - (\sum_{k=1}^{n} p_k)^2} \frac{(n+1)p_k - \sum_{k=1}^{n} p_k}{n+1}$
$a_k = \frac{(n+1)p_k - \sum_{k=1}^{n} p_k}{(n+1)\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - (\sum_{k=1}^{n} p_k)^2}$.
