به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
85 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (-13 امتیاز)

فرض کنید B(n) تعداد یکهای موجود در بسط عدد صحیح و مثبت n در مبنای ۲ باشد.گویا بودن یا نبودن عدد $exp \sum _1^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)} $ را تعیین کنید.

مرجع: کتاب حل مسئله از طریق مسئله نوشته لورنسی لارسن ترجمه علی ساوجی انتشارات فاطمی چاپ سوم سال۱۳۸۴ صفحه ۱۷۵

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,127 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

توجه کنید که اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد که در مبنای $2$ به صورت $(a_1a_2...a_k)_2$ باشد آنگاه عدد $2n$ در مبنای $2$ به صورت $(a_1a_2...a_k0)_2$ است و $2n+1$ به صورت $(a_1a_2...a_k1)_2$.

پس با قاطعیت می توان گفت:

$B(2n)=B(n),B(2n+1)=B(n)+1$

$ \Rightarrow \sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)} =\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(2n)}{2n(2n+1)}+\sum _{n=0}^ \infty \frac{B(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)}$

$=\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{2n(2n+1)}+\sum _{n=0}^ \infty \frac{B(n)+1}{(2n+1)(2n+2)}$

$= \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(2n+1)}+ \frac{1}{2} \sum _{n=0}^ \infty \frac{B(n)}{(2n+1)(2n+2)}+ \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)(2n+1)}$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty B(n)(\frac{1}{n(2n+1)}+ \frac{1}{(n+1)(2n+1)} )+\frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)(2n+1)}$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)} +\frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)(2n+1)}$

به سادگی و به کمک سری $Ln(1+x)$ توان نشان داد که سری سمت راست تساوی اخیر به $1-2Ln2$ همگراست بنابر این:

$\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)}=2Ln2$

$ \Rightarrow e^{\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)}}=e^{2Ln2}=(e^{Ln2})^2=2^2=4$

یعنی مقدار خواسته شده گویاست.

توجه شود که در استلال بالا اگر سیگماها را اول تا عدد طبیعی دلخواه $m$ در نظر بگیریم ،به کمک آزمون مقایسه قبل از هرچیز همگرایی سری خواسته شده نتیجه گرفته می شود.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...