توجه کنید که اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد که در مبنای $2$ به صورت $(a_1a_2...a_k)_2$ باشد آنگاه عدد $2n$ در مبنای $2$ به صورت $(a_1a_2...a_k0)_2$ است و $2n+1$ به صورت $(a_1a_2...a_k1)_2$.
پس با قاطعیت می توان گفت:
$B(2n)=B(n),B(2n+1)=B(n)+1$
$ \Rightarrow \sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)} =\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(2n)}{2n(2n+1)}+\sum _{n=0}^ \infty \frac{B(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)}$
$=\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{2n(2n+1)}+\sum _{n=0}^ \infty \frac{B(n)+1}{(2n+1)(2n+2)}$
$= \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(2n+1)}+ \frac{1}{2} \sum _{n=0}^ \infty \frac{B(n)}{(2n+1)(2n+2)}+ \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)(2n+1)}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty B(n)(\frac{1}{n(2n+1)}+ \frac{1}{(n+1)(2n+1)} )+\frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)(2n+1)}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)} +\frac{1}{2} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)(2n+1)}$
به سادگی و به کمک سری $Ln(1+x)$ توان نشان داد که سری سمت راست تساوی اخیر به $1-2Ln2$ همگراست بنابر این:
$\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)}=2Ln2$
$ \Rightarrow e^{\sum _{n=1}^ \infty \frac{B(n)}{n(n+1)}}=e^{2Ln2}=(e^{Ln2})^2=2^2=4$
یعنی مقدار خواسته شده گویاست.
توجه شود که در استلال بالا اگر سیگماها را اول تا عدد طبیعی دلخواه $m$ در نظر بگیریم ،به کمک آزمون مقایسه قبل از هرچیز همگرایی سری خواسته شده نتیجه گرفته می شود.
$ \Box $
