$\lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=1}^n \frac{k^n}{n^n}$

Question

حاصل حد زیر را بدست بیاورید ؟ با تشکر

$$\lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=1}^n \frac{k^n}{n^n}$$

Comments

این رو به انتگرال تبدیل کنید و $\frac{k}{n}$  رو  $x$  بذارین.

Answer 1

$$\sum_{k=0}^n\frac{k^n}{n^n}$$ $$=\sum_{k=0}^n\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\\$$ $$=\sum_{k=0}^n\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(-k-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\exp\left(-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\left(1-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^ 4}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}-\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}k^2e^{-k}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\\$$ $$=\frac{e}{e-1}-\frac{1}{2n}\frac{e(e+1)}{(e-1)^3}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

در چند مرحله استفاده شده از:

$$\sum_{k=n}^\infty e^{-k}k^m=O(e^{-n}n^m)$$

Answer 2

در واقع می خواهیم حاصل حد زیر را بدست آوریم :

$$lim_{n\to \infty}\ \frac{1^n+2^n+...+n^n}{n^n}$$ برای بدست آوردن حاصل حد بالا جملات صورت را از آخر به ابتدا بازنویسی می کنیم : $$lim_{n\to \infty}\ \frac{n^n+(n-1)^n+(n-2)^n+...+2^n+1^n}{n^n}$$ $$= lim_{n\to \infty}\ \frac{n^n}{n^n}+\frac{(n-1)^n}{n^n}+\frac{(n-2)^n}{n^n}+...+\frac{2^n}{n^n}+\frac{1^n}{n^n}$$ $$= lim_{n\to \infty}\ (1-\frac{0}{n})^n+(1-\frac{1}{n})^n+(1-\frac{2}{n})^n+...+(1-\frac{n-1}{n})^n$$ $$=lim_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=0}^{n-1}(1-\frac{k}{n})^n$$ $$=lim_{m\to \infty}(lim_{n\to \infty}\sum \limits_ {k=0}^{m-1}(1-\frac{k}{n})^n)$$ $$=lim_{m\to \infty}(\sum \limits_ {k=0}^{m-1}lim_{n\to \infty}(1-\frac{k}{n})^n)$$ $$=lim_{m\to \infty}(\sum \limits_ {k=0}^{m-1}e^{-k})$$ $$=\sum \limits_ {k=0}^{\infty}e^{-k}$$ $$=\frac{e}{e-1}$$ توجه : در بالا از این نکته استفاده کردیم که : $$lim_{n\to \infty}(1-\frac{k}{n})^n=e^{-k}$$

Comments

@ کیوان عباس زاده
یه سوال داشتم.جای حد و سیگما رو چه طور عوض کردی؟کی مجاز به اینکار هستیم؟

---

اگر در یک مجموع حد هر جمله موجود باشد آنگاه حد مجموع برابر است با مجموع حد جملات .

---

@ کیوان عباس زاده
حتی برای تعداد نامتناهی؟
برای نامتناهی به راحتی مثال نقض موجوده

---

برای تعداد متناهی . در مثال بالا هم تعداد جملات متناهی است. برای تعداد نامتناهی که بی نهایت مثال نقض وجود دارد مثلا سری ریمان.

---

وقتی m به سمت بی نهایت داره میره پس تعداد نامتناهیه.

Answer 3

$\sum_0^m ( \frac{k}{m} )^{m} = \sum_0^m ( \frac{m-k}{m} )^{m}= \sum_0^m (1- \frac{k}{m} )^{m} = \sum_0^ \infty u_{m} (k)$

---

که برای ,...,m=1,2 داریم

$u_{m} (k)=\begin{cases} (1- \frac{k}{m} )^{m} & if 0 \leq k \leq m\\0 & if m \leq k\end{cases}$

---

از طرفی بنا به نامساوی واسطه ها داریم اگر $1 \leq k \leq m$ $\sqrt[m+1]{ (1- \frac{k}{m} )^{m}.1 } \leq \frac{m(1- \frac{k}{m} )+1}{m+1}=1- \frac{k}{m+1}$

---

از اینرو برای $k \geq 0$ $0 \leq u_{m} (k) \leq u_{m+1}(k) m=1,2,...$ $\lim_{m \rightarrow \infty } u_{m} (k)= e^{-k} k=0,1,2,...$ پس دنباله $m \rightarrow u_{m} (k)$ به $e^{-k}$ صعود می کند. پس چون$0 \leq u_{m} (k) \leq e^{-k}$ اگر $1 \leq n \leq m$ داریم $\sum_0^n u_{m} (k) \leq \sum_0^ \infty u_{m} (k) \leq \sum_0^ \infty e^{-k}= \frac{e}{e-1}$

---

پس دنباله $m \rightarrow \sum_0^ \infty u_{m} (k)$ همگراست. حال n را ثابت در نظر می گیریم و از طرفین نامساوی قبلی حد می گیریم وقتی $m \rightarrow \infty$داریم $\sum_0^n e^{-k} \leq \lim_{m \rightarrow \infty } \sum_0^ \infty u_{m} (k) \leq \frac{e}{e-1}$

---

حال n را به بی نهایت میل می دهیم نتیجه می گیریم که $\lim_{m \rightarrow \infty } \sum_0^m ( \frac{k}{m} )^{m}= \frac{e}{e-1}$

---

این اثبات از مقاله FINBARR HOLLAND برداشته شده است. همچنین این حد به حد ولستونهلم معروفه.