به تعداد شرطها متغیر کمکی تعریف کنید. در اینجا دو شرط دارید پس دو متغیر کمکیِ $\lambda_1$ و $\lambda_2$. شرطهایتان را طوری بازنویسی کنید که در سمت راست برابریها صفر داشتهباشید.
$$\begin{array}{l}z=x+y\longrightarrow x+y-z=0\\ x^2+2y^2+2z^2=8\longrightarrow x^2+2y^2+2z^2-8=0\end{array}$$
اکنون تابع چندمتغیرهٔ جدیدی به شکل جمع تابع هدف اصلی که میخواهید بیشینه-کمینههایش را زمانیکه دامنهاش محدود به شرطها هست بیابید و سمت چپهای شرطها که در متغیر کمکیِ مربوطهشان ضربشدهاند تعریف کنید. در این نمونه به این شکل میشود؛
$$G(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=x+\lambda_1(x+y-z)+\lambda_2(x^2+2y^2+2z^2-8)$$
در نهایت مشتقات جزئی تابع جدید نسبت به همهٔ متغیرهایش (چه متغیرهای اصلی پرسش و چه متغیرهای کمکیِ خودتان) را محاسبه و دستگاه حاصل از مساوی صفر قرار دادنشان را حل کنید.
$$\begin{array}{l}
\frac{\partial G}{\partial x}=1+\lambda_1+2x\lambda_2=0\\
\frac{\partial G}{\partial y}=\lambda_1+4y\lambda_2=0\\
\frac{\partial G}{\partial z}=-\lambda_1+4z\lambda_2=0\\
\frac{\partial G}{\partial \lambda_1}=x+y-z=0\\
\frac{\partial G}{\partial \lambda_2}=x^2+2y^2+2z^2-8=0
\end{array}$$
همانطور که میبینید آخرین برابریها در دستگاه تضمین کنندهٔ ماندن نقاط پاسخ در محدودهٔ شرطها هستند. در اینجا دستگاه بدستآمده دو پاسخ حقیقی دارد.
$$(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=(-2,1,-1,\frac{-1}{2},\frac{1}{8})\text{ or }(2,-1,1,\frac{-1}{2},\frac{-1}{8})$$
اکنون مقدارهای $(-2,1,-1)$ و $(2,-1,1)$ را در تابع بگذارید. نقطهٔ یکم کمینهٔ $-2$ و نقطهٔ دوم بیشینهٔ $2$ را میدهد.
