به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
81 بازدید
در دانشگاه توسط mld.rashydy
ویرایش شده توسط AmirHosein

لطفا نحوهٔ استفاده از ضرایب لاگرانژ برای یافتن کمینه و بیشنهٔ یک تابع زمانی که یک سری شرایط داریم را توضیح دهید. اگر می‌شود روی مثال زیر این کار را انجام دهید. $$\begin{array}{l}F(x,y,z)=x\\ z=x+y\\ x^2+2y^2+2z^2=8\end{array}$$

توسط AmirHosein
@mld.rashydy
- نخست اینکه آیا تعریف روش ضرایب لاگرانژ را اصلا نگاه کرده‌اید؟ یا پرسش مشابهی رو نگاه کنید بعد سعی کنید همان را برای پرسش خودتان تقلید کنید؟ وقتی یک روش یا تعریف یا مفهوم را بلد نیستید اول بروید یک مرجع پیدا کنید یا اگر هیچ منبعی یافت نمی‌شود بپرسید و یادش بگیرید بعد به حل کردن پرسش در موردش فکر کنید و اگر هنوز نتوانستید حل کنید، پرسش را بپرسید و بعلاوه بگوئید که خودتان تا حالا چه کاری برای حلش کرده‌اید.
- مرجع با اسم درس فرق می‌کند! مرجع کتاب یا مقاله یا یک اثر نشر یافته است که بتوان آن را یافت و به آن مراجعه کرد! شما متن پرسش تان را در این چهار کلمهٔ اسم درسی که نوشتید می‌بینید؟ کجای این چهار کلمه پرسش شما را آورده‌است؟ باید اسم کتابی که در آن این پرسش را دیدید بنویسید. اگر هم مرجعی ندارید برای پرسش‌تان، خالی بگذارید، ستاره‌دار که نبوده!
- فرمول‌های ریاضی را همانگونه که در راهنمای سایت گفته‌شده تایپ کنید!

من این دفعه برایتان پرسش را ویرایش می‌کنم و پاسخ می‌دهم با این فرض که تازه وارد بودید، این وظیفهٔ خود پرسش‌کننده است که پرسشش را درست بنویسد.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein

به تعداد شرط‌ها متغیر کمکی تعریف کنید. در اینجا دو شرط دارید پس دو متغیر کمکیِ $\lambda_1$ و $\lambda_2$. شرط‌هایتان را طوری بازنویسی کنید که در سمت راست برابر‌ی‌ها صفر داشته‌باشید. $$\begin{array}{l}z=x+y\longrightarrow x+y-z=0\\ x^2+2y^2+2z^2=8\longrightarrow x^2+2y^2+2z^2-8=0\end{array}$$ اکنون تابع چندمتغیرهٔ جدیدی به شکل جمع تابع هدف اصلی که می‌خواهید بیشینه-کمینه‌هایش را زمانیکه دامنه‌اش محدود به شرط‌ها هست بیابید و سمت چپ‌های شرط‌ها که در متغیر کمکی‌ِ مربوطه‌شان ضرب‌شده‌اند تعریف کنید. در این نمونه به این شکل می‌شود؛ $$G(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=x+\lambda_1(x+y-z)+\lambda_2(x^2+2y^2+2z^2-8)$$ در نهایت مشتقات جزئی تابع جدید نسبت به همهٔ متغیرهایش (چه متغیرهای اصلی پرسش و چه متغیرهای کمکیِ خودتان) را محاسبه و دستگاه حاصل از مساوی صفر قرار دادنشان را حل کنید. $$\begin{array}{l} \frac{\partial G}{\partial x}=1+\lambda_1+2x\lambda_2=0\\ \frac{\partial G}{\partial y}=\lambda_1+4y\lambda_2=0\\ \frac{\partial G}{\partial z}=-\lambda_1+4z\lambda_2=0\\ \frac{\partial G}{\partial \lambda_1}=x+y-z=0\\ \frac{\partial G}{\partial \lambda_2}=x^2+2y^2+2z^2-8=0 \end{array}$$ همانطور که می‌بینید آخرین برابری‌ها در دستگاه تضمین کنندهٔ ماندن نقاط پاسخ در محدودهٔ شرط‌ها هستند. در اینجا دستگاه بدست‌آمده دو پاسخ حقیقی دارد. $$(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=(-2,1,-1,\frac{-1}{2},\frac{1}{8})\text{ or }(2,-1,1,\frac{-1}{2},\frac{-1}{8})$$ اکنون مقدارهای $(-2,1,-1)$ و $(2,-1,1)$ را در تابع بگذارید. نقطهٔ یکم کمینهٔ $-2$ و نقطهٔ دوم بیشینهٔ $2$ را می‌دهد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...