به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
8,013 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian

پاره خط ABبه طول 20 سانتی متر داریم.عمود منصف آن را رسم کردیم . و نقطه ی Cبر آن انتخاب کردیم. فاصله ی Cتا ABپنج سانتی متر است.دایره ای رسم کردیم که سه نقطه ی A,B.Cبر آن قرار دارند.اندازه ی طول کمان ABC بر حسب سانتی متر چه گونه محاسبه می شود؟(حتی با روش های فیزیکی)

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Mohammadamin

طبق مفروضات سوال کمان مورد نظر نصف محیط یک بیضی به قطر بزرگ ۲۰ و قطر کوچک ۱۰ سانتی متر است . محیط یک بیضی به کمک انتگرال های کامل بیضوی نوع دوم قابل محاسبه است اما مانند مساحت ان فرمول صریحی ندارد و از طریق محاسبه یک سری نامتناهی بدست می اید بنابراین این کمان بر حسب سانتی متر مقدار دقیقی ندارد.

توسط rezasalmanian
–1
سپاس از جنابعالی
توسط rezasalmanian
اگر قسمتی از قوس دایره در نظر بگیریم طول قوس چند می شود
توسط
انتقال داده شده توسط saderi7
–1

بله طول abc برابر است با نصف محیط بیضی به شعاع 10 سانتی متر و 5 سانتی متر که برابر ....48/5118530718 است متشکرم

+1 امتیاز
توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

پاسخ دادن به این پرسش بسیار ساده‌است و نیازی به انتگرال ندارد. بدون کاستن از کلیت حداکثر با یک انتقال در صفحه (انتقال درازای خم‌ها را تغییر نمی‌دهد) می‌توانید فرض کنید پاره‌خط‌تان پاره‌خط وصل کنندهٔ نقطه‌های $(10,0)$ و $(-10,0)$ است و نقطهٔ $C$ نقطهٔ $(0,5)$. نخستین چیزی که باید به ذهنتان برسد یافتن مرکز و شعاع دایره است که به ذهن یک دانش‌آموز یکم دبیرستانی نیز می‌رسد. بدون نیاز به انجام محاسبه مشخص است که درازای (طول) نقطهٔ مرکز دایره باید صفر باشد، به عبارت دیگر باید روی محور پهناها (عرض‌ها یا همان $y$-ها) باشد. پس کارمان حتی ساده‌تر هم هست. سه معادله اما دو مجهول داریم! سه نقطهٔ روی دایره‌مان یعنی $A$ و $B$ و $C$ را باید در $x^2+(y-b)^2=r^2$ جایگذاری کنیم. چون $a=0$ را پیش از حل می‌دانستیم ۳ معادله در واقع پس از نگذاشتن $a$ خودکار دو معادله شده‌اند؛ $r^2-(b-5)^2=0$ و $r^2-b^2=100$ که از آنها نتیجه می‌شود $b=-7.5$ و $r=12.5$. می‌دانیم که درازای کمان روبرو به زاویه‌ای با اندازهٔ $\theta$ رادیان، بنا به تعریف رادیان و یک نسبت و تناسب سادهٔ دبستانی-راهنمایی، برابر است با $r\theta$ باز هم نیاز به انتگرال ندارید. اما اینجا برای یافتن $\theta$ نیاز به تعریف رابطه‌های سه‌گوشی (مثلثاتی) از ریاضی دوم دبیرستان دارید. به یاد آورید که کسینوس یک زاویهٔ بین سمت مثبت محور درازاها و شعاعی در یک‌چهارم دوم صفحه برابر با $\pi$ منهای کسینوس زاویهٔ قرینه‌اش نسبت به محور پهناها می‌شد. پس $\theta$ برابر است با $\pi$ منهای دو برابر زاویهٔ بین سمت مثبت محور درازاها و شعاع وصل کنندهٔ مرکز دایره به نقطهٔ $(10,0)$. در نتیجه: $$\theta=\pi-2arc\cos\frac{10}{\sqrt{10^2+7.5^2}}$$ پس درازای کمان خواسته‌شده برابر می‌شود با $(12.5)(\pi-2arc\cos\frac{10}{\sqrt{10^2+7.5^2}})$ که پاسخ دقیق است. برای تقریبش هم می‌توانید از روش‌های متعددی بروید برای نمونه استفاده از تقریب زدن تابع $y=arc\cos(x)$ بوسیلهٔ $y\simeq y_0+y'\mid_{x=x_0}\cdot(x-x_0)$ که این نیز در ریاضی سوم دبیرستان یا پیش‌دانشگاهی آموزش داده‌شده‌است. به هر حال مقدار پاسخ با نرم‌افزار Maple تا ۸ رقم اعشار برابر است با ۲۳/۱۸۲۳۸۰۴۵.

enter image description here

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...