مساحت متوازی الاضلاع با قطرهای $a+b$ و $5a-2b$ به شرطی که $(3a+2b)\cdot (a-b)=1$ و $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ را بیابید.

Question

بین بردارهای واحدِ $a$ و $b$ رابطهٔ $(3a+2b)\cdot (a-b)=1$ برقرار است که منظور از «$\cdot$» ضرب داخلی است. مساحت متوازی‌الاضلاعی که بردارهای $a+b$ و $5a-2b$ اقطار آن هستند کدام است؟

الف)$ \frac{7}{2} $

ب)$ \frac{3}{2} $

ج)$7$

د)$3$

« سوال تالیفی آقای سلیمان‌زاده »

Comments

لطفا راهنمایی کنید.

---

@Smart لطفا برای پرسش‌تان زمان صرف کنید. عنوان پرسش‌تان به نظرتان چه می‌گوید؟ می‌توانستید بنویسید «مساحت یک متوازی‌الاضلاع که رابطه‌ای بین بردارِ یال‌هایش داده‌شده‌است». بعلاوه تلاش خودتان را نیز اشاره کنید بد نیست. چون هدف یادگرفتن است نه دادن تکلیف به دیگران.

Answer 1

چند نکته را به یاد آورید

1. توجه کنید که ضربِ داخلی نسبت به جمع دارای پخش‌پذیری (توزیع‌پذیری) است.
2. که ضرب‌داخلیِ یک بردار در خودش برابر با توان‌دویِ اندازه‌اش می‌شود.
3. ضربِ داخلی دارای ویژگی جابجایی است.

پس داریم: $$\begin{align} (3a+2b)\cdot (a-b) &= 3|a|^2-3a\cdot b+2b\cdot a-2|b|^2\\ &= 3(1^2)-3a\cdot b+2a\cdot b-2(1^2)\\ & =1-a\cdot b \end{align}$$ اکنون از برابریِ این عبارت با ۱ نتیجه می‌شود که $a\cdot b=0$ که هم‌ارز با عمود بودن این دو بردار بر یگدیگر است. اکنون که دو بردارِ $a$ و $b$ یکه (واحد) و بر هم راست (عمود) هستند، بدون کاستن از کلیت، دست‌بالا (حداکثر) با یک دوران مختصات، می‌توانیم فرض کنیم که آنها بردارهای یکهٔ محور $x$ها و $y$ها که معمولا با $\vec{i}$ و $\vec{j}$ نمایششان می‌دهیم فرض کنیم. پس بردارهایی که قطرهای متوازی‌الأضلاعتان را می‌سازند برابر هستند با $(5,-2)$ و $(1,1)$. اکنون توجه کنید که مساحت متوازی‌الأضلاع برابر با نصف مساحتِ متوازی‌الأضلاعِ ساخته‌شده بوسیلهٔ قطرهایش تقسیم بر ۲ است. مساحت متوازی‌الأضلاع تولید شده بوسیلهٔ دو بردار برابر با دترمینان ماتریس دو در دوی ایجاد شده با مختصات این دو بردار است. پس مساحت خواسته‌شده برابر است با: $$\frac{1}{2}(\,\begin{vmatrix}5 & -2\\ 1 & 1\end{vmatrix}\,)=\frac{7}{2}$$ گزینه‌های تست نیز اینگونه طراحی شده‌اند که اگر تقسیم بر دو را فراموش کردید یا اینکه در محاسبهٔ دترمینان به جای $5-(-2)$ نوشتید $5-2$ گزینهٔ اشتباه انتخاب کنید. در واقع گزینه‌ها فقط بی‌دقتی محاسباتی را اندازه‌گرفته‌اند نه دانش فرد را.

Comments

@Smart
دقت کنید کنید که قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر رو نصف می کنند. با رسم قطرها 4 تا مثلث همنهشت با مساحت برابر ایجاد میشه. پس مساحت متوازی الاضلاع 4 برابر یکی از این مثلث هاست که دو تا ضلعش نصف اندازه قطرهاست. پس اگه قطرها $a,b$ باشن اونوقت
$$S=4(\frac{1}{2})|\frac{a}{2}\times \frac{b}{2}|=\frac{1}{2}|a\times b|$$