اگر $a-b=36$ و $[a,b]=120$ باشد، آنگاه $a,b$ را بیابید.
تلاش انجام شده: قرار دادم $a=36+b$. پس
$ (a,b)=(36+b,b)=d \Longrightarrow d | 36$
می دانیم:
$(a,b)×[a,b]=ab \Longrightarrow 120d=36b+b^2$
که نتیجه می شود که $6 | d$. پس:
$6 | d , \space , d | 36$
اگر $d=6k$ باشد،
$1 \leq k \leq 6$
$6k ×120=ab \Longrightarrow 720k= b^2+36b$
$\Longrightarrow b^2+36b-720k =0$
$\Longrightarrow \Delta =36^{2}+36(80k) $
$ \Longrightarrow \sqrt{ \Delta} =6 \sqrt{36+80k} $
باید عبارت زیر رادیکال مربع کامل باشد. پس $k=2$ است. در نهایت به دو عدد $a=60$ و $b=24$ رسیدم. ولی به دنبال راه کوتاه تر هستم.