Question

اگر $a-b=36$ و $[a,b]=120$ باشد، آنگاه $a,b$ را بیابید.

تلاش انجام شده: قرار دادم $a=36+b$. پس

$ (a,b)=(36+b,b)=d \Longrightarrow d | 36$

می دانیم:

$(a,b)×[a,b]=ab \Longrightarrow 120d=36b+b^2$

که نتیجه می شود که $6 | d$. پس:

$6 | d , \space , d | 36$

اگر $d=6k$ باشد، $1 \leq k \leq 6$

$6k ×120=ab \Longrightarrow 720k= b^2+36b$ $\Longrightarrow b^2+36b-720k =0$

$\Longrightarrow \Delta =36^{2}+36(80k) $

$ \Longrightarrow \sqrt{ \Delta} =6 \sqrt{36+80k} $

باید عبارت زیر رادیکال مربع کامل باشد. پس $k=2$ است. در نهایت به دو عدد $a=60$ و $b=24$ رسیدم. ولی به دنبال راه کوتاه تر هستم.

Answer 1

طبق داده های مسئله: a-b=36 M=120 می‌توانیم بنويسيم:36 =(e-f)D که eوfنسبت بهم اولند. M=efD=120

ازتقسیم این دررابطه بهم داریم: e-f/ef=36/120=3/10 چون هردو کسر تحویل ناپذیرند،میتوانیم صورت‌ها ر ا با هم ومخرجها را باهم بر ابر قرار دهیم. e-f=3 ef=10 که از اينجا خواهیم داشت: e=5 f=2 نهایتا:D=12. a=60 b=24

Comments

rez@ لطفا تایپ ریاضی را بیاموزید. و درضمن اصول نوشتاری  را بیشتر دقت کنید تا توضیحات واضح تر شود