اگر $a\mid b^2$ و $b^2\mid a^3$ و .... در اینصورت $a=b$

Question

اگر $a,b$ اعداد صحیح مثبت باشند به طوریکه $a\mid b^2$ و $ b^2\mid a^3$ و $a^3\mid b^4$ و ... در اینصورت ثابت کنید $a=b$

Answer 1

فرض کنیم $a= { p_{1} }^{{ a_{1} }}{ p_{2} }^{{ a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ a_{r} }} $ و $ b= { q_{1} }^{{ b_{1} }}{ q_{2} }^{{ b_{2} }}...{ q_{s} }^{{ b_{s} }} $ در اینصورت از آنجایی که $ a \mid b^{2} $ بدون کاستن از کلیت می توان فرض کرد که$p_{1}= q_{1}$ و...و$p_{r} =q_{r} $و $r \leq s$ و همچنین $a_{i} \leq 2 b_{i} $ است.

داریم $a^{3} = { p_{1} }^{{ 3a_{1} }}{ p_{2} }^{{ 3a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ 3a_{r} }} $ از آنجایی که $ b^{2} \mid a^{3} $ داریم $s \leq r$ پس $ s = r $ یعنی نوع اعداد اول $ a $ و $ b $ یکی هستند و فقط شاید توان متفاوت باشد

حال $ p_{i} $ را در نظر میگیریم و طبق فرض توان آن در $ a $ برابر $ a_{i} $ و در $ b $ برابر $ b_{i} $ است فرض کنید که $a_{i} < b_{i} $ باشد لذا میتوان نوشت $ b_{i}=a_{i}+k $

به ازای هر $ l $ زوج داریم $ b^{l} \mid a^{l+1} $ یعنی با مقایسه توان $ p_{i} $ داریم $$ la_{i}+lk \leq (l+1)a_{i} \Rightarrow lk \leq a_{i}$$ اما در این رابطه $ l $ فقط غیر ثابت است و میتوانیم آن را هرچقدر که بخواهیم بزرگ کنیم لذا داریم $k=0$ یعنی $ b_{i}=a_{i}$ و حکم برای این خالت برقرار می شود.

اگر $a_{i} > b_{i} $ به طور مشابه اثبات می شود.