اگر $a\mid b^2$ و $b^2\mid a^3$ و .... در اینصورت $a=b$

Question

اگر $a,b$ اعداد صحیح مثبت باشند به طوریکه $a\mid b^2$ و $b^2\mid a^3$ و $a^3\mid b^4$ و ... در اینصورت ثابت کنید $a=b$

Answer 1

فرض کنیم $a= { p_{1} }^{{ a_{1} }}{ p_{2} }^{{ a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ a_{r} }}$ و $b= { q_{1} }^{{ b_{1} }}{ q_{2} }^{{ b_{2} }}...{ q_{s} }^{{ b_{s} }}$ در اینصورت از آنجایی که $a \mid b^{2}$ بدون کاستن از کلیت می توان فرض کرد که$p_{1}= q_{1}$ و...و$p_{r} =q_{r}$و $r \leq s$ و همچنین $a_{i} \leq 2 b_{i}$ است.

داریم $a^{3} = { p_{1} }^{{ 3a_{1} }}{ p_{2} }^{{ 3a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ 3a_{r} }}$ از آنجایی که $b^{2} \mid a^{3}$ داریم $s \leq r$ پس $s = r$ یعنی نوع اعداد اول $a$ و $b$ یکی هستند و فقط شاید توان متفاوت باشد

حال $p_{i}$ را در نظر میگیریم و طبق فرض توان آن در $a$ برابر $a_{i}$ و در $b$ برابر $b_{i}$ است فرض کنید که $a_{i} < b_{i}$ باشد لذا میتوان نوشت $b_{i}=a_{i}+k$

به ازای هر $l$ زوج داریم $b^{l} \mid a^{l+1}$ یعنی با مقایسه توان $p_{i}$ داریم

$$la_{i}+lk \leq (l+1)a_{i} \Rightarrow lk \leq a_{i}$$ اما در این رابطه $l$ فقط غیر ثابت است و میتوانیم آن را هرچقدر که بخواهیم بزرگ کنیم لذا داریم $k=0$ یعنی $b_{i}=a_{i}$ و حکم برای این خالت برقرار می شود.

اگر $a_{i} > b_{i}$ به طور مشابه اثبات می شود.