فرض کنیم
$a= { p_{1} }^{{ a_{1} }}{ p_{2} }^{{ a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ a_{r} }} $ و $ b= { q_{1} }^{{ b_{1} }}{ q_{2} }^{{ b_{2} }}...{ q_{s} }^{{ b_{s} }} $ در اینصورت از آنجایی که $ a \mid b^{2} $ بدون کاستن از کلیت می توان فرض کرد که$p_{1}= q_{1}$ و...و$p_{r} =q_{r} $و
$r \leq s$ و همچنین $a_{i} \leq 2 b_{i} $ است.
داریم $a^{3} = { p_{1} }^{{ 3a_{1} }}{ p_{2} }^{{ 3a_{2} }}...{ p_{r} }^{{ 3a_{r} }} $ از آنجایی که $ b^{2} \mid a^{3} $ داریم $s \leq r$
پس $ s = r $ یعنی نوع اعداد اول $ a $ و $ b $ یکی هستند و فقط شاید توان متفاوت باشد
حال $ p_{i} $ را در نظر میگیریم و طبق فرض توان آن در $ a $ برابر $ a_{i} $ و در $ b $ برابر $ b_{i} $ است فرض کنید که $a_{i} < b_{i} $ باشد لذا میتوان نوشت $ b_{i}=a_{i}+k $
به ازای هر $ l $ زوج داریم $ b^{l} \mid a^{l+1} $ یعنی با مقایسه توان $ p_{i} $ داریم
$$ la_{i}+lk \leq (l+1)a_{i} \Rightarrow lk \leq a_{i}$$
اما در این رابطه $ l $ فقط غیر ثابت است و میتوانیم آن را هرچقدر که بخواهیم بزرگ کنیم لذا داریم $k=0$ یعنی $ b_{i}=a_{i}$
و حکم برای این خالت برقرار می شود.
اگر $a_{i} > b_{i} $ به طور مشابه اثبات می شود.
