اگر $a^3+a^2+a=9b^3+b^2+b$ ثابت کنید که $a-b$ مکعب کامل است

Question

اگر $a$ و $b$ اعداد طبیعی باشند و $a^3+a^2+a=9b^3+b^2+b$ ثابت کنید که $a-b$ مکعب کامل است و مثالی از $a$ و $b$ بیابید به طوری که در برابری بالا برقرار باشد .

$b^3$ و $b^2$ و $b$ رو بردم اونطرف بدست اومد :

$(a-b)(a^2+b^2+ab+a+b+1)= 8b^3$

اگه اثبات بشه 2 عبارت سمت چپ نسبت به هم اولند بدست میاد که هر دو مکعب کاملند . شایدم راه دیگه ای داشته باشه.

Comments

دو عبارت همیشه نسبت به هم اول نیستند.فرض کنید aوb هر دو فرد یا زوج باشند انگاه حاصل هر دو پرانتز عددی زوج است که نسبت به هم اول نیستند.

---

@Taha1381 چگونه می‌شود در حالت $a,b$ هر دو زوج، داشته باشیم $a^2+b^2+ab+a+b+1$ زوج شود؟ در حالت هر دو زوج، یا یکی زوج، ۲ مقسوم مشترکی از دو پرانتز نمی‌شود، تنها در حالت هر دو فرد، دو مقسوم مشترک دو پرانتز است.