سلام.بله میشه.به کمک وجود اکسترممهای مطلق.
فرض کنید تابع $f$ روی بازه $[a,b]$ پیوسته و روی $(a,b)$ مشتق پذیر باشد.حالا تابع $g$ را روی بازۀ $[a,b]$ به شکل زیر تعریف کنید:
$ \forall x \in[a,b]:g(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)$
واضح است که این تابع جدید $g$ روی $[a,b]$ پیوسته و روی $(a,b)$ مشتق پذیر است و $g(a)=g(b)$.(چرا؟).
اگر تابع $g$ ثابت باشد مشتق آن در هر نقطه صفر است و لذا $(f(b)-f(a)) \times 1-(b-a)f'(x)=0$ و میتوان $c$ را هر نقطۀ $(a,b)$ قرار داد.اما اگر $g$ ثابت نباشد نقطه ای در $(a,b)$ مانند $t$ موجود است که $g(t) \neq g(a)$.اگر $g(t)>g(a)$ آنگاه تابع ما ماکزیمم مطلق خود را که وجود دارد در نقطه ای مانند $c_1$ از $(a,b)$ می گیرد که ماکزیمم نسبی هم هست و لذا $g'(c_1)=0$ و حکم ثابت است.به دلیل مشابه برای حالت $g(t)<g(a)$ مینیمم مطلق خود را در نقطه ای مانند $c_2$ می گیرد که مینیمم نسبی هم هست و لذا $g'(c_2)=0$ و باز هم حکم ثابت است.
$ \Box $
