برای اثبات بدون کاستن از کلیات فرض کنید
$ f(a) < c < f(b)$
قرار می دهیم:$ g(x)=c-f(x) $ پس $ g(a) < 0$ و
$ g(b) > 0 $ وباید نقطه ایی را بیابیم که $ g(N)=0 $ باشد.
قرار می دهیم $I_1=[a_1,b_1] $ که در آن $ a_1=a $و $b_1=b $.
حال نقطه ی $ \frac{a_1+b_1}{2} $ را در نظر می گیریم اگر $ g( \frac{a_1+b_1} {2})=0 $ حکم تمام است پس یا $ g( \frac{a_1+b_1}{2}) > 0 $ یا $ g( \frac{a_1+b_1}{2}) < 0 $ را داریم. اگر $g( \frac{a_1+b_1}{2}) > 0 $ قرار می دهیم $I_2=[a_2,b_2] $ که در آن $ a_2=a_1 $و $b_2=\frac{a_1+b_1}{2} $. در غیر اینصورت قرار می دهیم $ b_2=b_1 $و $ a_2=\frac{a_1+b_1}{2} $. دوباره نقطه وسط بازه را انتخاب می کنیم و این روند را انجام می دهیم. پس اگر در مرحله ایی $ g(\frac{a_k+b_k}{2})=0$ را داشته باشیم حکم تمام است. در غیر اینصورت زنجیره ی $ I_1\supseteq I_2 \supseteq... $ را داریم.
فرض کنید $ N \in \bigcap_{i=1}^{ \infty } I_i $ پس اگر دو دنباله $ (a_i) $ و $ (b_i) $ را درنظر بگیریم هر دو به $N $ همگرا هستند. و چون تابع پیوسته است پس $ \lim_{i \rightarrow \infty } g(a_i)= g(N) =\lim_{i \rightarrow \infty } g(b_i)$
از آنجایی که همواره $g(a_i) \leq 0 $ و $ \lim_{i \rightarrow \infty } g(a_i)= g(N)$پس $g(N) \leq 0 $
به طور مشابه داریم $g(N) \geq 0 $ پس باید $g(N) = 0 $ و لذا حکم اثبات شد.
