$ \forall n \in N: \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{b_{n+1}}{b_n} \Rightarrow \forall n \in N: \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} \leq \frac{a_n}{b_n}$
این یعنی دنبالۀ $\ \frac{a_n}{b_n}$ نزولی است.بنابراین:
$ \forall n \in N:\frac{a_n}{b_n} \leq \frac{a_1}{b_1} \Rightarrow \forall n \in N:a_n\leq \frac{a_1}{b_1}b_n, \frac{a_1}{b_1}>0$
لذا بنابه آزمون مقایسه چون $ \sum_{n=1}^ \infty b_n$ همگراست لذا هر ضریبی از آن نیز همگراست و درنتیجه سری $ \sum_{n=1}^ \infty a_n$ همگراست.
$ \Box $
