
توضیح قبل اثبات:
از اثبات همرسی عمودهای مثلث بدلیل کوتاه شدن جواب خود داری نموده ام.
محل مجاز برای $P$ و $Q$ خارج دایره و بین دو خط مماس بر دایره میباشد که موازی هستند ؛در غیر این صورت مثلث ها حاده الزاویه نخواهد بود و این اثبات برای این نقاط صادق است.
شروع اثبات:
این تساوی ها بر اثر متقابل به راس است:
$$ \hat{DAC}=y=\hat{PAF} \\ \hat{QAD}=z= \hat{GAP} \\ \hat{EAQ}=x=\hat{BAG}$$
چون $x+y+z$ برابر نیم دایره است، پس:
$$x+y+z=180$$
چون دو زاویه $EAD$ و $PAB$ برابرند:
$$\hat{PAB}=\hat{EAD}=x+z$$
و چون امتداد $PA$ و $FC$ متقابل به راس و هر دو برابر $y$ هستند پس امتداد $PA$ از نقطه $D$ عبور میکند.
در مثلث $ACD$ چون $ADC$ مقابل کمان نیم دایره است پس اندازه ان $90$ درجه است.
پس $PD$ یکی از عمودهای مثلث $PMQ$ میباشد و قسمت (الف) اثبات شد.
و به روش مشابه ثابت میشود $QG$ که امتداد $QA$ میباشد عمود دوم مثلث $PMQ$ است.
حال اثبات قسمت (ب):
در مثلث $PMQ$ چون محل تلاقی دو ارتفاع نقطه $A$ است و اگر از راس سوم $(E)$ خطی گذرا بر $A$ رسم کنیم در واقع ارتفاع سوم را رسم کرده ایم؛ از آنجا که ( در مثلث سه ارتفاع همرسند).
پس $MH$ بر $PQ$ عمود است.