یک اثبات هندسی درباره مثلث متساوی الساقین

Question

مثلث متساوی الساقین ABC دارای زاویه 90 درجه A است. دو مثلث حاده الزاویه مساوی ABP و ACQ به طوری که BP=AQ بر اضلاع AB و AC خارج مثلث ABC بنا می شوند. خطوط BP و CQ همدیگر را در M قطع میکنند . ثابت کنید : الف) PA بر QC عمود است. ب) MA بر PQ عمود است.

Answer 1

توضیح قبل اثبات:

از اثبات همرسی عمودهای مثلث بدلیل کوتاه شدن جواب خود داری نموده ام.

محل مجاز برای $P$ و $Q$ خارج دایره و بین دو خط مماس بر دایره میباشد که موازی هستند ؛در غیر این صورت مثلث ها حاده الزاویه نخواهد بود و این اثبات برای این نقاط صادق است.

شروع اثبات:

این تساوی ها بر اثر متقابل به راس است:

$$ \hat{DAC}=y=\hat{PAF} \\ \hat{QAD}=z= \hat{GAP} \\ \hat{EAQ}=x=\hat{BAG}$$

چون $x+y+z$ برابر نیم دایره است، پس:

$$x+y+z=180$$

چون دو زاویه $EAD$ و $PAB$ برابرند:

$$\hat{PAB}=\hat{EAD}=x+z$$

و چون امتداد $PA$ و $FC$ متقابل به راس و هر دو برابر $y$ هستند پس امتداد $PA$ از نقطه $D$ عبور میکند.

در مثلث $ACD$ چون $ADC$ مقابل کمان نیم دایره است پس اندازه ان $90$ درجه است.

پس $PD$ یکی از عمودهای مثلث $PMQ$ میباشد و قسمت (الف) اثبات شد.

و به روش مشابه ثابت میشود $QG$ که امتداد $QA$ میباشد عمود دوم مثلث $PMQ$ است.

حال اثبات قسمت (ب):

در مثلث $PMQ$ چون محل تلاقی دو ارتفاع نقطه $A$ است و اگر از راس سوم $(E)$ خطی گذرا بر $A$ رسم کنیم در واقع ارتفاع سوم را رسم کرده ایم؛ از آنجا که ( در مثلث سه ارتفاع همرسند).

پس $MH$ بر $PQ$ عمود است.