توضیح قبل اثبات:
از اثبات همرسی عمودهای مثلث بدلیل کوتاه شدن جواب خود داری نموده ام.
محل مجاز برای P و Q خارج دایره و بین دو خط مماس بر دایره میباشد که موازی هستند ؛در غیر این صورت مثلث ها حاده الزاویه نخواهد بود و این اثبات برای این نقاط صادق است.
شروع اثبات:
این تساوی ها بر اثر متقابل به راس است:
\hat{DAC}=y=\hat{PAF} \\ \hat{QAD}=z= \hat{GAP} \\ \hat{EAQ}=x=\hat{BAG}
چون x+y+z برابر نیم دایره است، پس:
x+y+z=180
چون دو زاویه EAD و PAB برابرند:
\hat{PAB}=\hat{EAD}=x+z
و چون امتداد PA و FC متقابل به راس و هر دو برابر y هستند پس امتداد PA از نقطه D عبور میکند.
در مثلث ACD چون ADC مقابل کمان نیم دایره است پس اندازه ان 90 درجه است.
پس PD یکی از عمودهای مثلث PMQ میباشد و قسمت (الف) اثبات شد.
و به روش مشابه ثابت میشود QG که امتداد QA میباشد عمود دوم مثلث PMQ است.
حال اثبات قسمت (ب):
در مثلث PMQ چون محل تلاقی دو ارتفاع نقطه A است و اگر از راس سوم (E) خطی گذرا بر A رسم کنیم در واقع ارتفاع سوم را رسم کرده ایم؛ از آنجا که ( در مثلث سه ارتفاع همرسند).
پس MH بر PQ عمود است.
