مجموع معکوس مجذور اعداد طبیعی

Question

$ \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } + .... + \frac{1}{ 20^{2} }=? $
میخواستم عبارت بالا را از راه فرمول حل کنم خوشحال میشم اگه کسی کمکم کنه

Answer 1

میدانیم که :

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$$

بنابراین خواهیم داشت :

$$\sum_{n=2}^{20}\dfrac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} -1 -\sum_{n=21}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

با تقریب نسبتا خوب میتوان گفت که :

$$\sum_{n=21}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sim \int_{20}^\infty \frac{1}{x^2} \; dx = \frac{1}{20}$$

بنابر این خواهیم داشت :

$$\sum_{n=2}^{20}\dfrac{1}{n^2} \sim\frac{\pi^2}{6} -1 -\frac{1}{20} = 0.59$$

Answer 2

سلام دوست عزیز.

مساله که شما گذاشته اید به مساله Basel معروف است. که اویلر با راه حل کاملا ابتکاری به مساله $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}$ پاسخ داد. و نشان داد $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} $ و همچنین سری $\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2}$ فرمول بسته ای ندارد. البته من یک فرمولی در Math.stackexchange دیده بودم که در اصل محاسبه را ساده نمیکنه!!!

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} - \psi^{(1)}(n+1)$$

که تابع $\psi$ trigamma function می باشد.

Comments

البته استدلال اویلر ایراد داشت.

Answer 3

اویلر و مک لورن یک روش کارا برای محاسبه عددی مجموع های متناهی و نامتناهی به فرم$ S^{0} = \sum_1^N f(x) $ ارائه دادن. برای توضیح روش مجموع‌های کلی تر زیر را در نظر می‌گیریم $ S^{k} = \sum_1^N f^{(k)} (x) , k=0,1,...$ که $f:(0, \infty ) \rightarrow R$ یک تابع از کلاس $ C^{ \infty } $ است. با استفاده از فرمول تیلور برای یک تابع اولیه$F$ از$f$ تخمین ابتکاری زیر را به دست می آوریم $ \int_0^N f(x)dx=F(N)-F(0)= \sum_1^N (F(n)-F(n-1)) \approx \sum_1^N \frac{ F' (n)}{1!} - \frac{F''(n)}{2!} + \frac{F'''(n)}{3!} -... $* یعنی $ \int_0^N f(x)dx \approx \frac{ S^{0} }{1!} - \frac{ S^{1} }{2!} + \frac{ S^{2} }{3!} -... $ به طور مشابه برای مشتقات$f$ می‌توان فرمول‌های زیر را به دست آورد

$f(N)-f(0) \approx \frac{ S^{1} }{1!} - \frac{ S^{2} }{2!} + \frac{ S^{3} }{3!} -... $ و $ f'(N)-f'(0) \approx \frac{ S^{2} }{1!} - \frac{ S^{3} }{2!} + \frac{ S^{4} }{3!} -... $ و... با استفاده از این روابط می‌توانیم$ S^{1} $و$ S^{2} $و ... را از * یکی یکی حذف می‌کنیم و رابطه‌ی زیر را به دست می‌آوریم $ \sum_1^N f(n) \simeq \int_0^N f(x)dx + \sum_1^ \infty a_{k} ( f^{(k-1)}(N) - f^{(k-1)}(0) ) $ که ضرایب$ a_{k} $ به سرعت به سمت صفر همگرا می‌شوند. $ a_{1} = \frac{1}{2} , a_{2} = \frac{1}{12} , a_{3} =0, a_{4} = \frac{-1}{720} , a_{5} =0,...$

---

حالا از این فرمول با $f(x)= (x+1)^{-2} $ و $N=19$ میتونید برای مجموع خواسته شده استفاده کنید. تجزیه و تحلیل خطای روش دشواره و نیاز به مقدمات خیلی زیاده داره و اینجا نمیشه ارائه کرد درواقع به چندجمله‌ای های برنولی مربوط میشه.