به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
289 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط malihe (158 امتیاز)

$$ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11}+ ...+ \frac{1}{99} $$ حاصل عبارت بالا برابر چه مقدار است؟

مرجع: ریاضی هشتم

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah (1,117 امتیاز)

enter image description hereاگر تابع$ y= \frac{1}{x} $ رارسم کنیم طبق شکل رسم شده شده مجموع پاره خط های سبز رنگ جواب مسئله خواهد بود.دراین شکل اعداد از 9 تا 99تصویر را به 90 شکل تقریبآذوزنقه ای به ارتفاع یک واحدتقسیم می کند.هردو ذوزنقه در یک ضلع مشترک است مجموع مساحت ذوزنقه ها را به دو روش محاسبه میکنیم.

$s= \frac{ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} }{2}+ \frac{ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} }{2}...+ \frac{ \frac{1}{98} + \frac{1}{99} }{2} $

حال مساحت ذوزنقه ها را به روش انتگرال بدست می آوریم. $s= \int_a^b \frac{1}{x}dx $را محاسبه می کنیم یعنی $=lnx =ln99-ln9=ln \frac{99}{9} =ln11=2.3978$s بنابراین $s= \frac{ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} }{2}+ \frac{ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} }{2}...+ \frac{ \frac{1}{98} + \frac{1}{99} }{2}=2.3978 $ اگر این معادله را حل کنیم
$ \ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11}+ \frac{1}{11}+ ...+ \frac{1}{98} + \frac{1}{98} + \frac{1}{99}=4.7956 $ و مجموع معکوس های عددهای 9 تا 99 را A فرض کنیم وبا توجه به اینکه مجموع معکوس های اعداد 10 تا 98 دوبار تکرار شده است خواهیم داشت $A+A- \frac{1}{9}- \frac{1}{99}=4.7956 $ در نتیجه 2A=4.9168 ومقدار تقریبی A=2/4584$ $بدست میآید.این مقدار با مقدار واقعی 0.001 تفاوت داردوآن بدلیل آن است که ذوزنقه ها در قسمت بالای آنها انحنا دارداگر به جای آنکه از معکوس عدد 9 ازمعکوس عدد 99 شروع و به معکوس عدد 999 ختم کنیم انحنا خیلی کمتر و به عدد واقعی از همین روش می رسیم پایان.

توسط alitk (210 امتیاز)
+1
با توجه به اینکه پرسش در سال هشتم مطرح شده،بنظر خودتان پاسختان مناسب است؟

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...