اگر تابع$ y= \frac{1}{x} $ رارسم کنیم طبق شکل رسم شده شده مجموع پاره خط های سبز رنگ جواب مسئله خواهد بود.دراین شکل اعداد از 9 تا 99تصویر را به 90 شکل تقریبآذوزنقه ای به ارتفاع یک واحدتقسیم می کند.هردو ذوزنقه در یک ضلع مشترک است مجموع مساحت ذوزنقه ها را به دو روش محاسبه میکنیم.
$s= \frac{ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} }{2}+ \frac{ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} }{2}...+ \frac{ \frac{1}{98} + \frac{1}{99} }{2} $
حال مساحت ذوزنقه ها را به روش انتگرال بدست می آوریم.
$s= \int_a^b \frac{1}{x}dx $را محاسبه می کنیم یعنی $=lnx =ln99-ln9=ln \frac{99}{9} =ln11=2.3978$s
بنابراین
$s= \frac{ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} }{2}+ \frac{ \frac{1}{10} + \frac{1}{11} }{2}...+ \frac{ \frac{1}{98} + \frac{1}{99} }{2}=2.3978 $
اگر این معادله را حل کنیم
$ \ \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11}+ \frac{1}{11}+ ...+ \frac{1}{98} + \frac{1}{98} + \frac{1}{99}=4.7956 $
و مجموع معکوس های عددهای 9 تا 99 را A فرض کنیم وبا توجه به اینکه مجموع معکوس های اعداد 10 تا 98 دوبار تکرار شده است خواهیم داشت $A+A- \frac{1}{9}- \frac{1}{99}=4.7956 $ در نتیجه
2A=4.9168 ومقدار تقریبی A=2/4584$ $بدست میآید.این مقدار با مقدار واقعی 0.001 تفاوت داردوآن بدلیل آن است که ذوزنقه ها در قسمت بالای آنها انحنا دارداگر به جای آنکه از معکوس عدد 9 ازمعکوس عدد 99 شروع و به معکوس عدد 999 ختم کنیم انحنا خیلی کمتر و به عدد واقعی از همین روش می رسیم پایان.
