کوتاه ترین فاصله نقاط سهمی از مبدأ

Question

کوتاه‌ترین فاصله نقاط سهمی به معادله $ y^{2} =2x+10$ از مبدأ مختصات چند است؟

Answer 1

میدانیم که فاصله نقاط $(x,y)$ از مبدا مختصات برابر است با :

$$d=\sqrt{x^2+y^2}$$

---

با توجه به یاد آوری ذکر شده در میبابیم که فاصله نقاط روی سهمی از مبدا مختصات برابر است با :

$$f(x):=d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+2x+10}$$

حال به دنبال کوتاترین فاصله یا کمترین مقدار $d$ هستیم برای این کار زیر رادیکال رو باز سازی میکنیم :

$$A:=x^2+2x+10=x^2+2x+1-1+10=(x+1)^2+9$$

میدانیم که $(x+1)^2\geq 0$ بنابراین کمترین مقدار $A$ زمانی است که است که $(x+1)^2=0 $ باشد یعنی $x=-1$ باشد .

در نتیجه نقطه $(-1 ,f(-1))=(-1,3)$ روی سهمی کوتاه ترین فاصله را از مبدا مختصات دارا است .

Answer 2

نقاط روی سهمی به صورت $(a , \mp \sqrt{2a+10}) $ هستندوفاصله آنها ازمبدأ تابعی از $a$است به شکل $f(x)= \sqrt[]{a^2+2a+10} $

اکنون مشتق گرفته برابرصفربه نتیجه می رسیم

$ f'(a)= \frac{a+1}{\sqrt[]{a^2+2a+10}}=0 $ پس $a=-1$ لذا کوتاهترین فاصله $f(-1)=3$ است.

Comments

ممنون، عالی بود!
فقط راه دیگه‌ای غیر از مشتق‌گیری نداره؟؟ چون هنوز وارد بحث مشتق‌گیری نشدن!