حد $ \lim_{n \rightarrow ∞} sin^{2}( \pi \sqrt{n ^{2}+n }) $

Question

مطلوب است محاسبه حد زیر : $ \lim_{n \rightarrow ∞} sin^{2}( \pi \sqrt{n ^{2}+n }) $

Comments

به احتمال زیاد سوالو اشتباه نوشتید؟اگر درست سوالو نوشتید که واضحه این سوال مقدار سینوس رو وقتی زاویه به بی نهایت میل میکنه میخواد که وجود ندارد.

---

من دوباره سوالو ویرایش کردم چون که اگه توان سوم ان منظورشون بود توان 2 رو که نوشتن پس توان 3 رو هم میتونستن بنویسن. احتمالا یه جمع جا انداخته بودن. همچنین sin رو توان دو نوشتن تا حد وجود داشته باشد. الان حد برابر سینوس پی دوم میشه.

---

اگر سینوس توان نداشته باشد دنباله واگراست .
اما اگر توان داشته باشد دنباله به یک همگراست !

---

@kazomano
بله سوال قبلیشون واضح بود که اشتباه نوشتن. ولی جالب اینه که حتی زحمت نمیکشن بیان دیدگاه بگذارن یا سوالشونو ویرایش کنن که بدونیم واقعا منظور همینه یا نه!

Answer 1

دنباله رو در نظر میگیریم :

$$a_n:=\sin (\pi\sqrt{n^2+n})$$

به دنباله مقدار $n\pi$ کم و اضافه میکنیم خواهیم داشت :

$$a_n:=\sin (\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi+n \pi)$$

حال میدانیم که :

$$\sin (x+n \pi)=(-1)^n \sin x$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$a_n=(-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)$$

---

در پی آن هستیم که حاصل حد زیر را حساب کنیم :

$$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \big((-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)\big)^2 $$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \big((-1)^{2n}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)\big)$$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2(\pi\sqrt{n^2+n}-n\pi)$$ $$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2\pi(\sqrt{n^2+n}-n)$$

حال ثابت میشود ( مزدوج ضرب و تقسیم کنید ) که :

$$\lim_n \pi(\sqrt{n^2+n}-n)=\frac{\pi}{2} $$

و همچنین میدانیم تابع $\sin x$ در همه جا پیوسته است در نتیجه خواهیم داشت :

$$\lim_n ( a_n)^2=\lim_n \sin^2(\dfrac{\pi}{2})=1$$