اندازه پذیری ${ \big\{\cos \frac{1}{x} : \frac{ \pi }{12} < x < \frac{ \pi }{2}\big\} }$

Question

آیا مجموعه ${ \big\{\cos \frac{1}{x} : \frac{ \pi }{12} < x < \frac{ \pi }{2}\big\} }$ اندازه پذیر است ؟ آیا مجموعه داده شده باز است ؟ چرا ؟

Answer 1

کافی است دقت کنید که $\{\cos\frac 1x: \frac\pi{12}< x< \frac\pi 2\}=[-1, \cos\frac 1{\frac\pi 2})=[-1, \cos \frac 2\pi)$ بنابر این اندازه پذیر است.

Comments

بازه ذکر شده چگونه بدست آمده !

---

چون $\frac{\pi}{12}< x< \frac{\pi}{2}$ بنابراین $\frac{2}{\pi}< \frac 1x< \frac{12}{\pi}$ پس اگر $\cos$ رو روی بازه ی اخبر در نظر بگیرید با توجه به اینکه $\frac{2}{\pi}< \frac{\pi}{2}$ و $\pi< \frac{12}{\pi}<\frac{3\pi}{2}$ اگه شکل $\cos$ رو برای خودتون رسم کنید دلیلش رو متوجه میشید.

---

از روی نمودار cosواضح است