بطور نقطه وار میتوانند همگرا باشند اما بصورت همگرای یکنواخت خیر.
می دانیم
$$ e^{x} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ x^{n} }{n!} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ on \ \ \ (- \infty ,+ \infty ) $$
که با جایگذاری $ - x^{2} $ به جای $x $ داریم:
$$ e^{- x^{2}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ {(-1)}^{n} \times { x}^{2n} }{n!} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ on \ \ \ (- \infty ,+ \infty ) $$
حال کافیست تعریف کنیم:
$ f_{0} = \frac{ { x}^{0} }{0!} ,f_{1} = \frac{ { x}^{0} }{0!}+\frac{- { x}^{2} }{1!},..., f_{k}= \sum_{n=0}^{ k } \frac{ {(-1)}^{n} \times { x}^{2n} }{n!}$
اما هیچ دنباله ای از چندجمله ای ها نمیتواند به تابعی نمایی بطور یکنواخت همگرا باشند دلیل آن بصورت زیر است.
چند جمله ای هارا با $ P_{n} $ نمایش میدهیم.
قرار میدهیم $ \epsilon =1 $ لذا طبق تعریف یک $N $ وجود دارد که به ازای هر $n > N $ داریم:(و به ازای هر $ x $ )
$$ \mid e^{- x^{2}}-P_{n} \mid < 1 $$
برای $x \in\Bbb R $ داریم $ \mid e^{- x^{2}} \mid \leq 1$ لذا باید داشته باشیم $ \mid P_{n} \mid \leq 2 $
($\ \ \ \ \ \mid P_{n} \mid - \mid e^{- x^{2}} \mid < \mid e^{- x^{2}}-P_{n} \mid < 1 \Rightarrow \mid P_{n} \mid < 1+\mid e^{- x^{2}} \mid \leq 2 \ \ \ \ \ $ )
و این زمانی ممکن است که چند جمله ای ها عددی ثابت باشند.که در صورت همگرایی به یک تابع ثابت همگرا خواهند بود.
دلیل ثابت بودن چند جمله ای ها:
فرض کنید که چندجمله ای بصورت $p(x)= a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} ...+ a_{1} x+ a_{0} $ باشد که $ n $ درجه ی چند جمله ای باشد با فاکتورگیری از $ x^{n} $ داریم $ p(x)=x^{n}( a_{n} + \frac{a_{n-1}}{x} +...+ \frac{a_{1}}{x^{n-1}} + \frac{a_{0}}{x^{n}} ) $ حال با حساب کردن حد در بینهایت داریم اگر $n \neq 0 $ آنگاه حد تابع $ + \infty $ یا $- \infty $ میشود ولی طبق آنچه نشان داده شد چند جمله ای سوال ما باید کران دار باشد لذا باید $ n=0 $ باشد یعنی چند جمله ای ثابت است.
