به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
1,445 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

گزاره زیر را رد و یا اثبات کنید:

یک دنباله از چندجمله‌ییهای $(p_{n})_{n\geq1}$ وجود داد که به طور یکنواخت روی
$\Bbb{R}$ به تابع $f(x)= e^{-x^{2}}$ همگرا است.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

بطور نقطه وار میتوانند همگرا باشند اما بصورت همگرای یکنواخت خیر. می دانیم $$ e^{x} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ x^{n} }{n!} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ on \ \ \ (- \infty ,+ \infty ) $$ که با جایگذاری $ - x^{2} $ به جای $x $ داریم: $$ e^{- x^{2}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ {(-1)}^{n} \times { x}^{2n} }{n!} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ on \ \ \ (- \infty ,+ \infty ) $$

حال کافیست تعریف کنیم: $ f_{0} = \frac{ { x}^{0} }{0!} ,f_{1} = \frac{ { x}^{0} }{0!}+\frac{- { x}^{2} }{1!},..., f_{k}= \sum_{n=0}^{ k } \frac{ {(-1)}^{n} \times { x}^{2n} }{n!}$

اما هیچ دنباله ای از چندجمله ای ها نمیتواند به تابعی نمایی بطور یکنواخت همگرا باشند دلیل آن بصورت زیر است.

چند جمله ای هارا با $ P_{n} $ نمایش میدهیم.

قرار میدهیم $ \epsilon =1 $ لذا طبق تعریف یک $N $ وجود دارد که به ازای هر $n > N $ داریم:(و به ازای هر $ x $ )

$$ \mid e^{- x^{2}}-P_{n} \mid < 1 $$

برای $x \in\Bbb R $ داریم $ \mid e^{- x^{2}} \mid \leq 1$ لذا باید داشته باشیم $ \mid P_{n} \mid \leq 2 $

($\ \ \ \ \ \mid P_{n} \mid - \mid e^{- x^{2}} \mid < \mid e^{- x^{2}}-P_{n} \mid < 1 \Rightarrow \mid P_{n} \mid < 1+\mid e^{- x^{2}} \mid \leq 2 \ \ \ \ \ $ )

و این زمانی ممکن است که چند جمله ای ها عددی ثابت باشند.که در صورت همگرایی به یک تابع ثابت همگرا خواهند بود.

دلیل ثابت بودن چند جمله ای ها:

فرض کنید که چندجمله ای بصورت $p(x)= a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} ...+ a_{1} x+ a_{0} $ باشد که $ n $ درجه ی چند جمله ای باشد با فاکتورگیری از $ x^{n} $ داریم $ p(x)=x^{n}( a_{n} + \frac{a_{n-1}}{x} +...+ \frac{a_{1}}{x^{n-1}} + \frac{a_{0}}{x^{n}} ) $ حال با حساب کردن حد در بینهایت داریم اگر $n \neq 0 $ آنگاه حد تابع $ + \infty $ یا $- \infty $ میشود ولی طبق آنچه نشان داده شد چند جمله ای سوال ما باید کران دار باشد لذا باید $ n=0 $ باشد یعنی چند جمله ای ثابت است.

توسط fardina (17,407 امتیاز)
+1
درسته که این سری به $e^{-x^2}$ همگراست. ولی فکر نکنم همگرایی یکنواخت باشه.
توسط fardina (17,407 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
+1
شرط $x< 0$ رو به برای هر $x\in\Bbb R$که $e^{-x^2}\leq 1$ ویرایش کردم. مرسی
توسط
+1
در قسمت آخر ، چرا باید چند جمله‌ییها ثابت باشند؟
توسط fardina (17,407 امتیاز)
+1
چون در چندجمله ایها وقتی $x $ به سمت مثبت یا منفی بی نهایت بره حاصل به سمت مثبت منفی بینهایت میره در حالیکه در اینجا چندجمله ایها کران بالا دارند حداکثر $2$  می شوند.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...