بطور نقطه وار میتوانند همگرا باشند اما بصورت همگرای یکنواخت خیر.
می دانیم
e^{x} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ x^{n} }{n!} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ on \ \ \ (- \infty ,+ \infty )
که با جایگذاری
- x^{2} به جای
x داریم:
e^{- x^{2}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ {(-1)}^{n} \times { x}^{2n} }{n!} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ on \ \ \ (- \infty ,+ \infty )
حال کافیست تعریف کنیم:
f_{0} = \frac{ { x}^{0} }{0!} ,f_{1} = \frac{ { x}^{0} }{0!}+\frac{- { x}^{2} }{1!},..., f_{k}= \sum_{n=0}^{ k } \frac{ {(-1)}^{n} \times { x}^{2n} }{n!}
اما هیچ دنباله ای از چندجمله ای ها نمیتواند به تابعی نمایی بطور یکنواخت همگرا باشند دلیل آن بصورت زیر است.
چند جمله ای هارا با P_{n} نمایش میدهیم.
قرار میدهیم \epsilon =1 لذا طبق تعریف یک N وجود دارد که به ازای هر n > N داریم:(و به ازای هر x )
\mid e^{- x^{2}}-P_{n} \mid < 1
برای x \in\Bbb R داریم \mid e^{- x^{2}} \mid \leq 1 لذا باید داشته باشیم \mid P_{n} \mid \leq 2
(\ \ \ \ \ \mid P_{n} \mid - \mid e^{- x^{2}} \mid < \mid e^{- x^{2}}-P_{n} \mid < 1 \Rightarrow \mid P_{n} \mid < 1+\mid e^{- x^{2}} \mid \leq 2 \ \ \ \ \ )
و این زمانی ممکن است که چند جمله ای ها عددی ثابت باشند.که در صورت همگرایی به یک تابع ثابت همگرا خواهند بود.
دلیل ثابت بودن چند جمله ای ها:
فرض کنید که چندجمله ای بصورت p(x)= a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} ...+ a_{1} x+ a_{0} باشد که n درجه ی چند جمله ای باشد با فاکتورگیری از x^{n} داریم p(x)=x^{n}( a_{n} + \frac{a_{n-1}}{x} +...+ \frac{a_{1}}{x^{n-1}} + \frac{a_{0}}{x^{n}} ) حال با حساب کردن حد در بینهایت داریم اگر n \neq 0 آنگاه حد تابع + \infty یا - \infty میشود ولی طبق آنچه نشان داده شد چند جمله ای سوال ما باید کران دار باشد لذا باید n=0 باشد یعنی چند جمله ای ثابت است.
