به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
7,513 بازدید
در دانشگاه توسط eski (359 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرق بین همگرایی نقطه‌وار و همگرایی یکنواخت چیست؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرق بین این دو نوع همگرایی در درک درست تعریف آنها است.

فرض کنید $ \{ f_n\} $ و $ f$ توابعی حقیقی روی $ X $ باشند. در اینصورت تعاریف زیر را داریم:

همگرایی نقطه‌وار:

داریم $ f_n\to f $ به صورت نقطه‌وار همگراست هرگاه $$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)\quad \forall x\in X $$

به عبارت دیگر:

$$ \forall x\in X\ \forall\varepsilon>0\ \exists N=N(x,\varepsilon) \ \ s.t. n>N\Rightarrow \vert f_n(x)-f(x)\vert< \varepsilon$$

توجه کنید که $ N $ هم به $x $ و هم $\varepsilon $ بستگی دارد.

به زبان ساده همگرایی نقطه‌وار یعنی برای هر نقطه‌ی $x\in X $ دنباله‌ی $(f_n(x)) $ به $ f(x) $ همگرا باشد.

همگرایی یکنواخت:

داریم $ f_n\to f $ به‌طور یکنواخت هرگاه: $$\lim_{n\to\infty}(\sup_{x\in X}\vert f_n(x)-f(x)\vert)=0 $$

به عبارت دیگر:

$$ \forall\varepsilon>0\ \exists N=N(\varepsilon)\ \ s.t.\ \forall x\in X,n>N\Rightarrow \vert f_n(x) -f(x)\vert< \varepsilon$$

توجه کنید که در این حالت $N$ فقط به $ \varepsilon$ بستگی دارد و به $x $ بستگی ندارد. یعنی این $N $ برای هر $ x $ نامساوی بالا را برقرار می کند یعنی $ (f_n(x)) $ برای هر $ x $ با آهنگ یکسانی به $ f(x) $ همگرا است.

در حالت همگرایی نقطه‌وار برای هر $x $ یک $ N $ مخصوص به آن پیدا می‌شود که ممکن است این $N$ برای نقطه‌های دیگر در $ X $ پاسخگو نباشد.

توجه: واضح است که همگرایی یکنواخت همگرایی نقطه‌وار را نتیجه می‌دهد اما عکس این مطلب درست نمی‌باشد.

+1 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط AmirHosein

همگرایی یکنواخت $\Leftarrow$ همگرایی نقطه به نقطه $\Leftarrow$ همگرایی تقریبا همه جا.

همگرایی در ال وان $\Leftarrow$ همگرایی در اندازه.

همگرایی تقریبا یکنواخت $\Leftarrow$ همکرایی تقریبا همه جا.

همگرایی تقریبا یکنواخت $\Leftarrow$ همکرایی در اندازه.

کوشی در اندازه $\Leftrightarrow$ همکرایی در اندازه.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...