فرق بین این دو نوع همگرایی در درک درست تعریف آنها است.
فرض کنید $ \{ f_n\} $ و $ f$ توابعی حقیقی روی $ X $ باشند. در اینصورت تعاریف زیر را داریم:
همگرایی نقطهوار:
داریم $ f_n\to f $ به صورت نقطهوار همگراست هرگاه $$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)\quad \forall x\in X $$
به عبارت دیگر:
$$ \forall x\in X\ \forall\varepsilon>0\ \exists N=N(x,\varepsilon) \ \ s.t. n>N\Rightarrow \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon$$
توجه کنید که $ N $ هم به $x $ و هم $\varepsilon $ بستگی دارد.
به زبان ساده همگرایی نقطهوار یعنی برای هر نقطهی $x\in X $ دنبالهی $(f_n(x)) $ به
$ f(x) $ همگرا باشد.
همگرایی یکنواخت:
داریم $ f_n\to f $ بهطور یکنواخت هرگاه: $$\lim_{n\to\infty}(\sup_{x\in X}\vert f_n(x)-f(x)\vert)=0 $$
به عبارت دیگر:
$$ \forall\varepsilon>0\ \exists N=N(\varepsilon)\ \ s.t.\ \forall x\in X,n>N\Rightarrow \vert f_n(x) -f(x)\vert<\varepsilon$$
توجه کنید که در این حالت $N$ فقط به $ \varepsilon$ بستگی دارد و به $x $ بستگی ندارد. یعنی این $N $ برای هر $ x $ نامساوی بالا را برقرار می کند یعنی $ (f_n(x)) $ برای هر $ x $ با آهنگ یکسانی به $ f(x) $ همگرا است.
در حالت همگرایی نقطهوار برای هر $x $ یک $ N $ مخصوص به آن پیدا میشود که ممکن است این $N$ برای نقطههای دیگر در $ X $ پاسخگو نباشد.
توجه: واضح است که همگرایی یکنواخت همگرایی نقطهوار را نتیجه میدهد اما عکس این مطلب درست نمیباشد.
