یک نیم گروه، باندمستطیلی است اگر و تنها اگر با حاصلضرب مستقیم یک نیم گروه صفرچپ و یک نیم گروه صفر راست ایزومورف باشد.

Question

نیم گروه $S$ را

• یک (Rectangular Band) می نامند هرگاه $sts=s$ برای هر $s,t\in S$
• یک صفر راست(Right Zero) گویند هرگاه $st=t$ بازای هر $s,t\in S$. صفر چپ هم بطور مشابه تعر یف می شود.

ثابت کنید $S$ یک باند مستطیلی است اگر و تنها اگر $S$ با حاصلضرب مستقیم یک نیم گروه صفرچپ و یک نیم گروه صفر راست ایزومورف باشد.

اثبات یک طرف واضح است اینکه ایزومورف بودن نتیجه میدهد باند مستطیلی است.

اما سوال من در مورد برعکس آن است.

Comments

نمیدونم ترجمه rectangular band را دقیق چه میگن مثلا "نوار مستظیلی"؟ دوستان جبری اگر ترجمه رو ارائه بدن میتونم سوالو ویرایش و جایگزین کنم.

Answer 1

واژهٔ band را همان باند ترجمه می‌کنیم. احتمالا اصطلاحاتی همچون «باند و باندبازی»، «باند خلافکاری» و غیره را شنیده‌اید. این واژهٔ band همان واژهٔ باندی است که وارد فارسی شده‌است. هر نیم‌گروهی که اعضایش خودتوان باشد یک باند است. می‌توانید ببینید که نیم‌گروهی که شرط باندمستطیلی را داشته‌باشد اعضایش خودتوان نیز می‌شوند پس واقعا یک باند است. علت اینکه مستطیلی گفته می‌شود نیز این است که می‌توان آن را به شکل $L\times R$ نوشت که $L$ نیم‌گروه صفر چپ و $R$ نیم‌گروه صفر راست باشد (در واقع ضرب دکارتی دو مجموعه را به شکل آرایهٔ مستطیلی نگاه کنید).

حکمی که شما می‌خواهید قسمت (۲) به (۳) یِ اثبات قضیهٔ ۱.۱.۳ کتاب Fundamentals of semigroup theory نوشتهٔ John Howie است.

خلاصهٔ ایده‌ای که آنجا صورت می‌گیرد این است: باند مستطیلی‌تان را $S$ بنامید. یک عنصر دلخواه را از باند مستطیلی‌تان مانند $x$ را ثابت بردارید. تعریف کنید $L:=Sx$ و $R:=xS$ و تعریف کنید $$\lbrace\begin{array}{rl}\phi:S & \rightarrow L\times R\\ s & \mapsto (sx,xs)\end{array}$$ ابتدا ثابت کنید که $L$ و $R$ نیم‌گروه‌های صفر چپ و صفر راست می‌شوند. سپس از همان سمتی که خودتان گفتید اثباتش را می‌دانید $L\times R$ یک باند مستطیلی نیز می‌شود. اکنون باید ثابت کنید که $\phi$ همریختی نیم‌گروهی یک‌به‌یک و پوشا است. نیم‌گروه‌های صفر راست و چپ شدن که از ویژگی باندمستطیلی بودن استفاده می‌کنند. پوشایی نیز دوباره همینطور. یابد برای یک $(sx,xt)$ که $s$ و $t$ الزاما یکسان نیستند عضوی از $S$ پیدا کنید که اثر $\phi$ بر روی آن بشود این زوج مرتب که دوباره از ویژگی باند مستطیلی بودن $st$ این کار را می‌کند. در یک به یکی از باند بودن نیز کمک خواهید گرفت. و در همریختی بودن از ویژگی باندمستطیلی و نیم‌گروه صفر راست و چپ بودن‌ها. اگر نتوانستید جزئیات را باز کنید و به کتاب نیز دسترسی نبود بگوئید تا جزئیات را بیاورم.

Comments

اخیرا در حال مطالعه کتاب analysis on semigroups هستم و این یک تمرین بود. حدس زده بودم که نگاشت باید اینطور تعریف بشه فقط در اثبات همومورف بودن و یک به یکی و پوشایی مشکل داشتم که به کمک شما در پایین می نویسم. به نظر میرسه در یک باند مستطیلی همواره رابطه $rst=rt$ برقرار است. به کمک این مطلب چنانچه $(sx, xt)\in Sx\times xS$  در نظر بگیریم آنگاه $$\phi(st)=(stx, xst)=(sx, xt)$$
در مورد یکریختی هم
$$\phi(ss')=(ss'x,xss')=(sx,xs')\\ \phi(s)\phi(s')=\big(sx,xs)(s'x,xs')=((sx)(s'x),(xs)(xs')\big)=(sx,xs')$$

و در مورد یک به یکی اگر $\phi(s)=\phi(t)$ آنگاه $(sx, xs)=(tx,xt)$ از اینکه $st=ts$ داریم:
$$s=sts=s(tst)s=(st)s(ts)=(ts)s(st)=t(sss)t=t$$

---

@AmirHosein
برای معرفی کتاب هم ممنون.

---

@fardina بلی، بسیار عالی هم نوشتید.