به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
103 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

نیم گروه $S$ را

  • یک (Rectangular Band) می نامند هرگاه $sts=s$ برای هر $s,t\in S$
  • یک صفر راست(Right Zero) گویند هرگاه $st=t$ بازای هر $s,t\in S$. صفر چپ هم بطور مشابه تعر یف می شود.

ثابت کنید $S$ یک باند مستطیلی است اگر و تنها اگر $S$ با حاصلضرب مستقیم یک نیم گروه صفرچپ و یک نیم گروه صفر راست ایزومورف باشد.

اثبات یک طرف واضح است اینکه ایزومورف بودن نتیجه میدهد باند مستطیلی است.

اما سوال من در مورد برعکس آن است.

دارای دیدگاه توسط fardina
نمایش از نو توسط admin
+2
نمیدونم ترجمه rectangular band را دقیق چه میگن مثلا "نوار مستظیلی"؟ دوستان جبری اگر ترجمه رو ارائه بدن میتونم سوالو ویرایش و جایگزین کنم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

واژهٔ band را همان باند ترجمه می‌کنیم. احتمالا اصطلاحاتی همچون «باند و باندبازی»، «باند خلافکاری» و غیره را شنیده‌اید. این واژهٔ band همان واژهٔ باندی است که وارد فارسی شده‌است. هر نیم‌گروهی که اعضایش خودتوان باشد یک باند است. می‌توانید ببینید که نیم‌گروهی که شرط باندمستطیلی را داشته‌باشد اعضایش خودتوان نیز می‌شوند پس واقعا یک باند است. علت اینکه مستطیلی گفته می‌شود نیز این است که می‌توان آن را به شکل $L\times R$ نوشت که $L$ نیم‌گروه صفر چپ و $R$ نیم‌گروه صفر راست باشد (در واقع ضرب دکارتی دو مجموعه را به شکل آرایهٔ مستطیلی نگاه کنید).

حکمی که شما می‌خواهید قسمت (۲) به (۳) یِ اثبات قضیهٔ ۱.۱.۳ کتاب Fundamentals of semigroup theory نوشتهٔ John Howie است.

خلاصهٔ ایده‌ای که آنجا صورت می‌گیرد این است: باند مستطیلی‌تان را $S$ بنامید. یک عنصر دلخواه را از باند مستطیلی‌تان مانند $x$ را ثابت بردارید. تعریف کنید $L:=Sx$ و $R:=xS$ و تعریف کنید $$\lbrace\begin{array}{rl}\phi:S & \rightarrow L\times R\\ s & \mapsto (sx,xs)\end{array}$$ ابتدا ثابت کنید که $L$ و $R$ نیم‌گروه‌های صفر چپ و صفر راست می‌شوند. سپس از همان سمتی که خودتان گفتید اثباتش را می‌دانید $L\times R$ یک باند مستطیلی نیز می‌شود. اکنون باید ثابت کنید که $\phi$ همریختی نیم‌گروهی یک‌به‌یک و پوشا است. نیم‌گروه‌های صفر راست و چپ شدن که از ویژگی باندمستطیلی بودن استفاده می‌کنند. پوشایی نیز دوباره همینطور. یابد برای یک $(sx,xt)$ که $s$ و $t$ الزاما یکسان نیستند عضوی از $S$ پیدا کنید که اثر $\phi$ بر روی آن بشود این زوج مرتب که دوباره از ویژگی باند مستطیلی بودن $st$ این کار را می‌کند. در یک به یکی از باند بودن نیز کمک خواهید گرفت. و در همریختی بودن از ویژگی باندمستطیلی و نیم‌گروه صفر راست و چپ بودن‌ها. اگر نتوانستید جزئیات را باز کنید و به کتاب نیز دسترسی نبود بگوئید تا جزئیات را بیاورم.

دارای دیدگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
+2
اخیرا در حال مطالعه کتاب analysis on semigroups هستم و این یک تمرین بود. حدس زده بودم که نگاشت باید اینطور تعریف بشه فقط در اثبات همومورف بودن و یک به یکی و پوشایی مشکل داشتم که به کمک شما در پایین می نویسم. به نظر میرسه در یک باند مستطیلی همواره رابطه $rst=rt$ برقرار است. به کمک این مطلب چنانچه $(sx, xt)\in Sx\times xS$  در نظر بگیریم آنگاه $$\phi(st)=(stx, xst)=(sx, xt)$$
در مورد یکریختی هم
$$\phi(ss')=(ss'x,xss')=(sx,xs')\\
\phi(s)\phi(s')=\big(sx,xs)(s'x,xs')=((sx)(s'x),(xs)(xs')\big)=(sx,xs')$$

و در مورد یک به یکی اگر $\phi(s)=\phi(t)$ آنگاه $(sx, xs)=(tx,xt)$ از اینکه $st=ts$ داریم:
$$s=sts=s(tst)s=(st)s(ts)=(ts)s(st)=t(sss)t=t$$
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@AmirHosein
برای معرفی کتاب هم ممنون.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+2
@fardina بلی، بسیار عالی هم نوشتید.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...