در کجا دیدید که هر نیمگروه دلخواهی دارای عضو خودتوان است؟ احتمالا جملهای که دیدهاید این است «هر نیمگروه متناهی دارای عضو خودتوان است». برای حالت نامتناهی خیلی راحت مجموعهٔ عددهای طبیعی به همراه عمل جمع را در نظر بگیرید، یک نیمگروه خواهید داشت که هیچ عضو خودتوانی ندارد.
اکنون برای اثبات حالت متناهی. یک عنصر دلخواه از نیمگروهتان بردارید. توانهای آن را در نظر بگیرید. اگر توان دوم با توان اول برابر بود که خودتوان است. اگر خیر پس مجموعهٔ $\lbrace a,a^2\rbrace$ دارای دو عضو متفاوت است. توان سوم را در نظر بگیرید. اگر یکی از اعضای مجموعهٔ پیشین شد بایستید و به پاراگراف پسین بروید. در غیر این صورت مجموعهٔ $\lbrace a,a^2,a^3\rbrace$ سه عضو دارد. این فرآیند را ادامه دهید. اگر هرگز به عضو تکراری برنخورید مجموعهٔ $\lbrace a^i\mid i \in\mathbb{N}\rbrace$ یک زیرمجموعهٔ نامتناهی از نیمگروهتان میشود که تناقض میسازد چون از یک مجموعهٔ متناهی نمیتوان زیرمجموعهٔ نامتناهی برداشت.
پس عدد طبیعی $k$ای یافت شد که $a^k$ برابر است با $a^\ell$ که $\ell$ عدد طبیعی دیگری است که از $k$ کوچکتر اکید است. روشن است که $k-\ell\geq 1$ ولی معلوم نیست که آیا $k-2\ell$ هم عددی مثبت شود (ممکن است صفر یا عدد صحیح منفی شود). موقت فرض کنید که $k-2\ell\in\mathbb{N}$ در این صورت داریم که (به خاطر دوتایی بودن عمل نیمگروه):
\begin{align}
a^k=a^\ell &\Longrightarrow a^ka^{k-2\ell}=a^\ell a^{k-2\ell}\\
&\Longrightarrow a^{2k-2\ell}=a^{k-\ell}\\
&\Longrightarrow (a^{k-\ell})^2=a^{k-\ell}
\end{align}
در این صورت $a^{k-\ell}$ که عضو از نیمگروه هست یک عضو خودتوان است. اکنون برویم سراغ مشکل $k-2\ell$ توجه کنید که الزامی ندارد به نخستین $k$ای که $a^k$ تکراری شد بایستید. میتوانید زمانیکه $k$ بزرگتر از دو برابر بزرگترین توان ناتکراری در مجموعهٔ متناهی توانها رسیدید بایستید.
در منبعهای دیگر میتوانید اثباتهای بیشتری پیدا کنید.
