نیم گروههای توپولوژیکی فشرده دارای عضو خودتوان هستند؟

Question

دیدیدم که هر نیم گروه متناهی دارای عضو خود توان است. از توپولوژی پایه میدانیم که در هر فضایی مجموعه های متناهی فشرده اند. با حذف واژه متناهی و گنجاندن ویژگی شگفت انگیز فشردگی (با حضور توپولوژی) به جای آن باز حکم می تواند برقرار باشد؟ نیم گروه توپولوژیک نیم گروهی است که عمل دوتایی اش تحت توپولوژی مفروض پیوسته باشد.

Comments

سوال شما از چه کتابی است؟

---

سلام علیکم. مرجعی ندارد. پس از آشنایی با تعریف گروههای توپولوژیکی در این سایت و چند مرجع در  راستای آنالیز ریاضی و توپولوژی عمومی بالاخص کتاب توپولوژی بدون اشک این سوال برایم مطرح شد.

Answer 1

فرض کنید $S$ یک نیم گروه فشرده باشد به طوریکه عمل ضرب راست پیوسته باشد. نشان می دهیم که $S$ شامل یک عضو خودتوان است. گردایه $\mathcal J$ از تمام زیرنیم گروههای بسته ی $S$ را با شمولیت مرتب کنید. اگر $\mathcal C$ یک زنجیر از $\mathcal J$ باشد آنگاه فشردگی $S$ ایجاب می کند که $\cap \mathcal C\neq \emptyset$و لذا $\mathcal C$ دارای یک کران پایین است. لم زرن وجود عضو مینیمال مثل $T$ در $\mathcal J$ را ایجاب می کند. فرض کنید $d$ عضو دلخواهی از $T$ باشد. نشان می دهیم $d$ خودتوان است. چون $Td$ زیرنیم گروه بسته $T$ است(از پیوستگی راست ضرب استفاده کردیم) از مینیمال بودن $T$ داریم $Td=T$ . لذا $t\in T$ موجود است که $td=d$. یعنی مجموعه ی $T_1:=T\cap \rho_d^{-1}(d)$ ناتهی است( در اینجا منظور از $ \rho_d $ عمل ضرب راست در $d$ می باشد یعنی $\rho_d(s)=sd$ و لذا $\rho_d^{-1}(d)=\{s:sd=d\}$). اما چون $T_1$ زیر نیم گروه بسته $T$ است پس باید $T_1=T$ و لذا باید $d\in T_1$. بنابر این $d^2=d$.

این اثبات از کتاب Analysis on semigroups نوشته Berglund ، Junghenn و Milnes است.

Comments

لطف کردین. ممنون.