فرض کنید $S$ یک نیم گروه فشرده باشد به طوریکه عمل ضرب راست پیوسته باشد. نشان می دهیم که $S$ شامل یک عضو خودتوان است. گردایه $\mathcal J$ از تمام زیرنیم گروههای بسته ی $S$ را با شمولیت مرتب کنید. اگر $\mathcal C$ یک زنجیر از $\mathcal J$ باشد آنگاه فشردگی $S$ ایجاب می کند که $\cap \mathcal C\neq \emptyset$و لذا $\mathcal C$ دارای یک کران پایین است. لم زرن وجود عضو مینیمال مثل $T$ در $\mathcal J$ را ایجاب می کند. فرض کنید $d$ عضو دلخواهی از $T$ باشد. نشان می دهیم $d$ خودتوان است. چون $Td$ زیرنیم گروه بسته $T$ است(از پیوستگی راست ضرب استفاده کردیم) از مینیمال بودن $T$ داریم $Td=T$ . لذا $t\in T$ موجود است که $td=d$. یعنی مجموعه ی $T_1:=T\cap \rho_d^{-1}(d)$ ناتهی است( در اینجا منظور از $ \rho_d $ عمل ضرب راست در $d$ می باشد یعنی $\rho_d(s)=sd$ و لذا $\rho_d^{-1}(d)=\{s:sd=d\}$). اما چون $T_1$ زیر نیم گروه بسته $T$ است پس باید $T_1=T$ و لذا باید $d\in T_1$. بنابر این $d^2=d$.
این اثبات از کتاب Analysis on semigroups نوشته Berglund ، Junghenn و Milnes است.
