چرا برای مجموعهٔ نامتناهیِ $A$، داریم که $(P(A),\Delta)$ مثالی از یک گروه نامتناهی ولی دارای عضو با مرتبهٔ متناهی است؟

Question

با سلام. پرسش زیر را در نظر بگیرید.

آیا گروهی نامتناهی وجود دارد که مرتبهٔ برخی اعضایش متناهی باشد؟

من برای این، گروه $(R- \{0\} , ×) $ مثال زدم که خودش بی نهایت هست و مرتبه بعضی از عناصرش هم بی نهایت میشه، ولی یه عنصر مثلا $-۱$ هست که مرتبه اش ۲ هست. چون که ما اگه منفی یک رو ۲ بار در خودش ضرب کنیم میشه یک. و همین یک عنصر همانی ضرب است، پس مرتبه منفی یک، دو می شود و این ۲ کوچکترین توان برای منفی یک است که وقتی در خودش ضرب میشه، می شود همانی. و یه جایی هم دیدم که $(P(A), \bigtriangleup )$ و $A$ نامتناهی است. من اینو نمی فهمم که چطوریه؟

می دونم که در تفاضل متقارن که اینجا هست عنصر همانی، تهی هست. متوجه نمی شوم که چی باید بنویسم.

ممنون می شوم راهنمایی ام کنید.

Comments

@M.SH عنوان پرسش و متن پرسش باید به طور مستقل از هم کامل باشند. برای همین وقتی متن پرسش را می‌نویسید با این فرض جلو نروید که قسمتی که در عنوان پرسش نوشته‌اید را نیاز به تکرار در متن پرسش ندارید. به ویرایش جدید انجام‌شده بر روی پرسش‌تان نگاه کنید.

Answer 1

یک مجموعهٔ دلخواه مانند $A$ را بردارید و مجموعهٔ توانی‌اش یعنی $P(A)$ که یک مجموعه شاملِ زیرمجموعه‌های $A$ است را در نظر بگیرید و آن را $G$ بنامید. اکنون یک عملِ دوتایی روی آن انتخاب می‌کنیم. این عمل را «تفاضلِ متقارن» که با $\Delta$ نمایش داده می‌شود بگیرید. تفاضل متقارن دو مجموعه، یک مجموعهٔ جدید می‌شود که اعضایش عضوهای غیرمشترک دو مجموعهٔ قبلی است. برای آن می‌توانید از دو فرمولِ هم‌ارز و برابرِ زیر استفاده کنید. به فرض $S_1$ , $S_2$ دو عضو از $G$ باشند (توجه کنید که اعضای $G$ مجوعه هستند).

$$S_1\Delta S_2=(S_1-S_2)\cup (S_2-S_1)=(S_1\cup S_2)-(S_1\cap S_2)$$

روشن است که تفاضلِ متقارنِ دو زیرمجموعهٔ $A$ دوباره زیرمجموعه‌ای از $A$ می‌شود پس $G$ نسبت به این عمل بسته است. به آسانی نیز می‌توانید بررسی کنید که این عمل شرکت‌پذیر و جابجایی است. عضوِ همانیِ $(G,\Delta)$ نیز مجموعهٔ $\emptyset$ است. و در پایان، هر عضوی تفاضلِ متقارنش با خودش برابر با $\emptyset$ می‌شود که عضو همانی اینجا است. پس هر عضوی قرینه هم دارد. اینها با هم نتیجه می‌دهد که $(G,\Delta)$ یک گروهِ آبلی است. بعلاوه مرتبهٔ همهٔ عضوهایش به غیر از تهی، برابر با ۲ است (که عددی متناهی است). اکنون اگر $A$ نامتناهی باشد، تعداد زیرمجموعه‌هایش نیز نامتناهی خواهد بود، نه؟ پس برای هر مجموعهٔ نامتناهیِ $A$، مجموعهٔ $P(A)$ به همراه تفاضلِ متقارن، یک گروه نامتناهی است که تمام اعضایش مرتبهٔ متناهی دارند.