اگر $(X,\Im,\mu)$ یک فضای اندازه سیگمامتناهی باشد نشان دهید هر زیرمجموعه اندازه پذیر نیز سیگمامتناهی است

Question

اگر $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد نشان دهید هر $D \in \Im $ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی است.

تعریف1: یک اندازه $ \mu $ روی یک $ \sigma $ - جبر $ \Im $ از زیرمجموعه های $X$ را $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (E_{n})< \infty $.

تعریف 2: یک مجموعه $D \in \Im $ را در یک فضای اندازه دلخواه $(X, \Im , \mu )$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی نامیم اگر وجود داشته باشد یک دنباله $( D_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $ n \in N $ داشته باشیم $ \mu (D_{n})< \infty $.

Comments

من درست متوجه سوال نمیشم. چند چیز به ذهنم میرسه ولی نمیدونم کدومش مدنظر شماست!
منظور شما این هست که $\mu$ یک اندازه سیگمامتناهی روی $(X,\mathcal M)$ است و حال اگر $E\in\mathcal M$ اندازه پذیر باشد می خواهید یک سیگماجبر $\mathcal N$ روی زیرمجموعه های $E$ و یک اندازه سیگمامتناهی روی $(E, \mathcal N)$ بدست آورید؟

---

ممنونم
سوال دقیقا این است : نشان دهید اگر µ یک اندازه سیگما  متناهی بر(  X,M )  باشد در این صورت هر مجموعه اندازه پذیر دارای اندازه  سیگما متناهی است

---

من به این صورت حل کردم :چون µ یک اندازه سیگما متناهی است بنابر این هر دنباله مثل (XI)  که اجتماع XI    ها می شودX در نظر بگیریم (XI)µ متناهی است بنابراین به ازای هر AI عضو سیگما جبر M که در نظر بگیریم:
اگر در نظر بگیریم :  اجتماع AI = A
(AI)µ ∑ (A)= µ  و چون هرکدام از (AI)µ ها متنهای هستند پس  (A) µ  نیز متناهی است

---

تعریف سیگما متناهی چیست؟
به نظر میرسه شما باید مطالعه بیشتری داشته باشید. تعارف و قضایا را خوب درک کنید. بعد از آن می توانید به حل مسائل بپردازید و کمک بخواهید.

---

@Maisam.Hedyehloo
به نظرم دیگه به صورت پاسخ میذاشتین بهتر بود تا کامنت.

Answer 1

$(X,B,\mu)$ فضای اندازه سیگما متناهی در این صورت داریم

$X\subset \cup_{i=1}^{\infty} X_i$
که $\mu(X_i)$ $\gt$ $\infty$

به ازای هر مجموعه اندازه $E$ داریم :

$E=X\cap E\subset \cup_{i=1}^{\infty}E\cap X_i$

$\mu(X_i\cap E )$ $\gt$ $\infty$

Comments

میشه بگید چرا دقیق نیست؟

---

@Maisam.Hedyehlo
اشکالی نداره که به تکمیل پاسخ های همدیگه کمک کنیم.
@kazomano اینکه فقط بنویسیم دقیق نیست کافی نیست و باید بیشتر توضیح داده بشه.
به نظرم این یک سوال خیلی ابتدایی آنالیز حقیقی هست و لزومی نداره خیلی با ذکر جزییات توضیح داده بشه. و بهتره خواننده خودش جزییات رو بنویسه و اگر ایراد داره در مورد مشکل بپرسه. مت به همین دلیل ترجیح دادم پاسخ ندم. چون خواننده حتی تعریف سیگما متناهی رو درست ننوشته بود.
جواب های هر دو هم یکسانه فقط آقای میثم در تعریف سیگمامتناهی گفتن میشه مجموعه ها رو هم مجزا در نظر گرفت.

---

@kazomano
من کوتاهترش کردم. بله منم با شما موافقم. نکته مساله حل کردن  اینه که فکر کنی و بتونی تعاریف و ایدها موجود را برای مساله استفاده کنی. که الان متاسفانه اینطوری نیست دانشجو چند ثانیه ای فکر میکنه و بعد منصرف میشه  رو میاره به راهای دیگه (مثل این سایت و ....)

---

@kazomano
البته من شرط مجزا بودن را برداشتم.با اینکه  وجودش خللی به اثبات وارد نمیکرد.

---

@Maisam.Hedyehlo
شما تعریف رو زیرمجموعه درنظر گرفتید. من ندیدم زیرمجموعه تعریف کنن. مرجعی دارید که تعریف شما مدنظرش باشه؟

---

@kazomano
چون گفتن اندازه اون‌مجموعه ها متناهی باشه پس بطور ضمنی اندازه پذیری آنها رو مد نظر داشتن.

---

@fardina
نه ایشون ثابت کردن که مجموعه E زیرمجموعه فلان اجتماعه پس سیگما متناهیه. یعنی تعریف اصلی زیرمجموعه بودن رو میخواد یا باید تساوی رو نشون داد؟

---

@kazomano
برابری ها هم واضح هستن. چون $X_i$ ها زیرمجموعه $X$ هستن پس اجتماعشون هم زیر مجموعه $X$ هست لذا برابرند. و همینطور در مورد $E\cap X_i$ ها که همگی زیرمجموعه $E$ هستن.

---

@fardina
درست میگید.

Answer 2

گیریم $(X, \Im , \mu )$ یک فضای اندازه $ \sigma $ - متناهی باشد. طبق تعریف وجود دارد یک دنباله $( E_{n} : n \in N )$ در $ \Im $ به طوری که $ \bigcup E_{n}=X $ و برای هر $ n \in N $ داریم $ \mu (E_{n})< \infty $. گیریم $D \in \Im $ . برای هر $n \in N$ گیریم $ D_{n} =D \bigcap E_{n} $. در این صورت $( D_{n} : n \in N )$ دنباله‌ای در $ \Im $ و $ \bigcup D_{n}=D $ و برای هر $n \in N$ داریم $ \mu ( D_{n} \leq \mu ( E_{n} )< \infty $. پس $D$ یک مجموعه $ \sigma $ - متناهی می باشد.

Comments

از همه شما بزرگواران کمال تشکر و سپاس رو دارم م ممنون بابت وقت و حوصله ای که گذاشتید

ولی میخواستم بگم مسلمه که دانشجوی ترم اول ارشد  هنوز مثل شما بزرگواران وارد به نحوه صحیح درس خوندن و تحقیق و پژوهش نشده و بنابر این اگر به جای تحقیر و سرزنش راهنمایی بشه خیلی اثر بیشتری داره همینطور نحوه برخورد با کسی که اولین باره سوالی رو از سایت وزین و ارزشمند شما میپرسه نباید تند باشه در ضمن هنوزم مطمئنم که تعریف من از سیگما متناهی درست و بی نقصه ممکنه نحوه تایپ مشکل داشته باشه


ممنون و بی نهایت سپاسگزارم

---

@bahars کسی شما را سرزنش نکرده‌است. گفته‌اند در تعریف اشکال دارید که خود راهنمایی است. بعلاوه پس از چند بار دیدگاه گذاشتن و پیام خصوصی فرستادن شما هنوز یک مرجع را در پرسش‌تان ویرایش نکرده‌اید. اگر نام کتاب است که کاملش کنید و اگر نام کتابی نیست حذفش کنید. به همین سادگی.