اگر اندازه خارجی یک مجموعه صفر باشد، آن مجموعه $\mu^\star$اندازه پذیر است.

Question

اگر $ A\subset X $ و $\mu^\star(A)=0 $ آنگاه $ A $ یک مجموعه $ \mu^\star $ -اندازه پذیر است. در نتیجه فضای اندازه تولیدشده توسط یک اندازه خارجی کامل است.

Answer 1

اثبات $ \mu^\star $-اندازه پذیری: برای هر $ E\subset X $ داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \mu^\star(E)&\leq \mu^\star(E\cap A)+\mu^\star(E\cap A^c)\\ &\leq \cancelto{0}{\mu^\star(A)}+\mu^\star(E\cap A^c)\\ &\leq \mu^\star (E) \end{align}$$ لذا $ A $ یک مجموعه $ \mu^\star $ -اندازه پذیر است.

اثبات کامل بودن: فرض کنید $ A\in\mathcal M $ (که $\mathcal M $ سیگماجبر تولید شده توسط $ \mu^\star $ یعنی مجموعه تمام مجموعه های $\mu^\star $-اندازه پذیر است) باشد. و $ B\subset A $ . در اینصورت : $ \mu^\star(B)\leq \mu^\star (A)=0 $ لذا $\mu^\star(B)=0 $ . و بنابر آنچه که در بالا ذکر شد: $B\in\mathcal M $ . یعنی کامل است.

Comments

باسلام واقعاٌ جوابتان عالی بود. ببخشید بنده هم میتونم به سئوالات دبیرستانی پاسخ دهیم.