اثبات $ \mu^\star $-اندازه پذیری: برای هر $ E\subset X $ داریم:
$$\require{cancel}\begin{align}
\mu^\star(E)&\leq \mu^\star(E\cap A)+\mu^\star(E\cap A^c)\\
&\leq \cancelto{0}{\mu^\star(A)}+\mu^\star(E\cap A^c)\\
&\leq \mu^\star (E)
\end{align}$$
لذا $ A $ یک مجموعه $ \mu^\star $ -اندازه پذیر است.
اثبات کامل بودن: فرض کنید $ A\in\mathcal M $ (که $\mathcal M $ سیگماجبر تولید شده توسط $ \mu^\star $ یعنی مجموعه تمام مجموعه های $\mu^\star $-اندازه پذیر است) باشد. و
$ B\subset A $ . در اینصورت : $ \mu^\star(B)\leq \mu^\star (A)=0 $ لذا $\mu^\star(B)=0 $ . و بنابر آنچه که در بالا ذکر شد: $B\in\mathcal M $ . یعنی کامل است.
