به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+1 امتیاز
1,668 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر $P $ یک مجموعه اندازه ناپذیر در $[0,1] $ و $ E \subset P $ مجموعه ای اندازه پذیر باشد ثابت کنید $ m \big(E\big)=0 $ .

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina (17,622 امتیاز)

این سوال قبلا در جواب یک سوال دیگه پاسخ داده شده.( این سوال رو ببینید) .

مجموعه اندازه ناپذیر ویتالی $ N $ که در اینجا توضیح داده رو در نظر بگیرید. هر زیرمجموعه اندازه پذیر $N $ دارای اندازه صفر است.زیرا اگر $ A\subset N $ آنگاه چون برای $ r\in R=[0,1)\cap\mathbb Q $ داریم $ A_r=A+r\ mod1\subset N+r\ mod1 $ و $ N_r $ها مجزا هستند و بازه صفر و یک را می پوشانند. (توجه کنید که بدون کاستن کلیت مساله می توان فرض کرد که $A\subset [0,1) $ ) پس: $$ 1\geq \mu(A)=\mu(\bigcup_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A) $$ پس اگر $\mu(A)>0 $ آنگاه سری بالا بی نهایت می شود در حالیکه کوچکتر از $ 1 $ است و این یک تناقض است.

توسط erfanm (13,871 امتیاز)
fa@
فکر نکنم اون جواب ربطی به این سوال داشته باشه
توسط fardina (17,622 امتیاز)
erfanm: مرسی. آره سوالش فرق میکنه ولی برای اثبات اون سوال اول این سوال جواب داده شده و ازش استفاده شده.
توسط erfanm (13,871 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm
نه در اون سوال ثابت شده اگر مجموعه ای اندازه پذیر از اندازه ی مثبت باشه یک زیر مجموعه ی اندازه ناپذیر داره در اون سوال این مطلب با فرض مساله در تناقض است اما اینجا نه.
در اثباتی که نوشتی تو فقط مجموعه ی ویتالی رو در نظر گرفتی ولی درعنوان سوال هر زیرمجموعه ی اندازه ناپذیر ذکر شده است.
توسط fardina (17,622 امتیاز)
+1
درسته. ویرایش میکنم. ممنون.
آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...