هرزیرمجموعه اندازه پذیر از یک مجموعه اندازه ناپذیر دارای اندازه صفر است.

Question

اگر $P$ یک مجموعه اندازه ناپذیر در $[0,1]$ و $E \subset P$ مجموعه ای اندازه پذیر باشد ثابت کنید $m \big(E\big)=0$ .

Answer 1

این سوال قبلا در جواب یک سوال دیگه پاسخ داده شده.( این سوال رو ببینید) .

مجموعه اندازه ناپذیر ویتالی $N$ که در اینجا توضیح داده رو در نظر بگیرید. هر زیرمجموعه اندازه پذیر $N$ دارای اندازه صفر است.زیرا اگر $A\subset N$ آنگاه چون برای $r\in R=[0,1)\cap\mathbb Q$ داریم $A_r=A+r\ mod1\subset N+r\ mod1$ و $N_r$ها مجزا هستند و بازه صفر و یک را می پوشانند. (توجه کنید که بدون کاستن کلیت مساله می توان فرض کرد که $A\subset [0,1)$ ) پس:

$$1\geq \mu(A)=\mu(\bigcup_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A)$$ پس اگر $\mu(A)>0$ آنگاه سری بالا بی نهایت می شود در حالیکه کوچکتر از $1$ است و این یک تناقض است.

Comments

fa@
فکر نکنم اون جواب ربطی به این سوال داشته باشه

---

erfanm: مرسی. آره سوالش فرق میکنه ولی برای اثبات اون سوال اول این سوال جواب داده شده و ازش استفاده شده.

---

نه در اون سوال ثابت شده اگر مجموعه ای اندازه پذیر از اندازه ی مثبت باشه یک زیر مجموعه ی اندازه ناپذیر داره در اون سوال این مطلب با فرض مساله در تناقض است اما اینجا نه.
در اثباتی که نوشتی تو فقط مجموعه ی ویتالی رو در نظر گرفتی ولی درعنوان سوال هر زیرمجموعه ی اندازه ناپذیر ذکر شده است.

---

درسته. ویرایش میکنم. ممنون.