Simplicial complex and the number of i-faces

Question

فرض کنید $ \triangle $ یک مجتمع سادکی و $ f_i$ تعداد $i$-face باشد. اگر $$ ... C_1( \triangle) \longrightarrow C_0( \triangle) \longrightarrow C_{-1}( \triangle ) =K \longrightarrow 0, $$ $ argumrnted\ \ chain\ \ complex$ باشد نشان دهید $$ dim_{K}(Z_1)=dim_{K}(ker( \delta _1))=f_1-f_0+r $$ که در آن $ r $ تعداد مولفه های همبندی $ \triangle $ است.

متن اصلی سوال:

Let $ \triangle $ be a simplicial complex and $ f_i$ the number of $i-$faces of $ \delta$. If $$ ... C_1( \triangle ) \longrightarrow C_0( \triangle ) \longrightarrow C_{-1}( \triangle ) =K \longrightarrow 0, $$ is the argumrnted chain complex of $ \delta $ over a field $ K $, then $dim_{K}(Z_1) $ is equal to

$$f_1-f_0+r; $$ where $ r$ is the number of connected components of $ \delta $ and $$ Z_1=ker( \delta _1). $$

Note that $ \delta _i$'s are $R-$homomorphism from $ C_{i}( \triangle ) $ to $ C_{i-1}( \triangle ). $ O

Comments

در قوانین سایت نوشته‌شده‌است پرسش‌ها را به زبان فارسی بنویسید.

Answer 1

در کتابی که به عنوان منبع نوشتید ثابت شده است که $$ \overline{H}_0( \bigtriangleup ,A)=r-1 $$ در حالی که $$dim_{K}( \overline{H}_0( \bigtriangleup ,A))=dim_{K}(ker( \delta _0))-dim_{K}(Im( \delta _1))$$

از طرف دیگر داریم $f_0= dim_{K}(C_0( \triangle ))=dim_{K}(ker( \delta _0))+dim_{K}(Im( \delta _0))$ پس $$f_0=dim_{K}(ker( \delta _0))+1 \Rightarrow dim_{K}(ker( \delta _0))=f_0-1 $$ با جایگذاری در رابطه اول در بالا داریم: $$r-1=f_0-1-dim_{K}(Im( \delta _1)) \Rightarrow dim_{K}(Im( \delta _1))=f_0-r $$

از طرف دیگر داریم: $f_1= dim_{K}(C_1( \triangle ))=dim_{K}(ker( \delta _1))+dim_{K}(Im( \delta _1))$ که با جایگذاری رابطه بدست آمده داریم: $$f_1=dim_{K}(ker( \delta _1))+f_0-r $$ پس $$dim_{K}(ker( \delta _1))=f_1-f_0+r $$

Comments

ممنون از پاسختون دکتر..خیلی عالی بود.فقط خط اول اثباتتون مربوط به کدوم صفحه از کتاب ویلاریل هست.ممنونم

---

@m.jafari
سلام . خواهش می کنم
 در اانتهای صفحه 210 در فصل 6 کتاب یعنی Proposition 6.2.3  آمده است.