رابطه ای که نوشتین به تحدب ینسن معروفه به راحتی به استقراء داریم
$$ f( \frac{ x_{1} +...+ x_{ 2^{k} } }{ 2^{k} } ) \leq \frac{f( x_{1} )+...+f( x_{ 2^{k} }) }{ 2^{k} } $$
که برای هر $k \in N $ و $ x_{1} ,..., x_{ 2^{k} } \in (a,b) $ برقراره. حالا $x,y \in (a,b)$ و $ \alpha \in (0,1)$ درنظر میگیریم. $ \alpha $ رو میتونیم به صورت بسط دودویی بنویسیم که میشه
$$ \alpha = \frac{ \alpha _{1} }{2} + \frac{ \alpha _{2} }{ 2^{k} } +...+ \frac{ \alpha _{k} }{ 2^{k} } +...$$
که $ \alpha _{i} \in \lbrace 0,1\rbrace $. حالا قرار میدیم
$$ \alpha ^{(k)} = \frac{ \alpha _{1} }{2} + \frac{ \alpha _{2} }{ 2^{k} } +...+ \frac{ \alpha _{k} }{ 2^{k} }= \frac{ \alpha _{1} 2^{k-1} +...+ \alpha _{k} }{ 2^{k} }= \frac{ \beta _{k} }{2^{k}} $$
داریم $ \lim_{k \rightarrow \infty } \alpha ^{(k)}= \alpha , 1- \alpha ^{(k)}= \frac{2^{k}- \beta _{k} }{2^{k}} $. حالا تو رابطه ای که گفتم به استقراء برقراره قرار میدیم
$$ x_{1} =...= x_{ \beta _{k} } =x , x_{ \beta _{k} +1} +...+ x_{2^{k}} =y$$
داریم
$$f( \alpha ^{(k)}x+(1- \alpha ^{(k)})y)=f( \frac{( \beta _{k}+(2^{k} - \beta _{k})}{2^{k}}) \leq \frac{( \beta _{k}f(x)+(2^{k} - \beta _{k})f(y))}{2^{k}}= \alpha _{k}f(x)+(1- \alpha _{k})f(y) $$
حالا اگه حد بگیریم و از پیوستگی تابع استفاده کنیم نتیجه میشه که
$$f( \alpha x+(1- \alpha )y) \leq \alpha f(x)+(1- \alpha )f(y)$$
این یعنی تابع محدبه.
