واقعا تعریف‌ها را برای این مجموعهٔ جزئا مرتب چک کرده‌اید؟ یکی یا هر دوی مفهوم «ماکسیمم، ماکسیمال، مینیمم، مینیمال» و «رابطهٔ شمردن» را نفهمیده‌اید.
مجموعهٔ اعداد طبیعی یک تا شش را در نظر بگیرید. پس S=\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace اکنون با رابطهٔ شمردن داریم:
\begin{array}{l}1\leq 1,1\leq 2,1\leq 3,1\leq 4,1\leq 5, 1\leq6\\
2\leq 2,2\leq 4, 2\leq6\\
3\leq 3,3\leq 6\\
4\leq 4\\
5\leq 5\\
6\leq 6\end{array}
تعریف ماکسیمم این بود «عضوی که از همهٔ اعضا بزرگتر یا مساوی باشد» این عضو در صورت وجود، یکتاست. چه عضوی از همهٔ اعضا بزرگتر یا مساوی است؟ هیچ کدام. پس این مجموعه هیچ عنصر ماکسیممی ندارد.
بیاییم بدون نگاه کردن به رابطه‌های بالا ماکسیمم را بررسی کنیم. اگر b از a بزرگتر یا مساوی باشد یعنی چه؟ یعنی b، a را بشمارد یعنی b مضربی از a باشد. اکنون بزرگتر از چند عضو بودن یعنی مضربی از همهٔ آن عضوها بودن. اگر عضوی مضرب چند عضو شود پس باید مضرب کوچکترین مضرب مشترک آنها هم بشود. اما در اینجا کوچکترین مضرب مشترک ۱ تا ۶ برابر با ۶۰ است. چون هیچ مضربی از ۶۰ در مجموعهٔ ۱ تا ۶ نیست پس ماکسیممی هم نداریم.
تعریف مینیمم این بود «عضوی که کوچکتر یا مساوی هر عضو دیگری باشد» این عضو نیز در صورت وجود، یکتاست. همان‌گونه که می‌بینید تنها عنصری که از همه کوچکتر یا مساوی است ۱ است.
با روش مشابه به قبل ولی برعکس می‌بینید که مینیمم باید شمارنده‌ای (عاملی) از تمامی اعضا شود. پس باید شمارندهٔ بزرگترین مقسوم‌علیه مشترکشان شود. چون ب.م.م. ۱ تا ۶ برابر با ۱ است پس باید شمارندهٔ ۱ باشد که تنها عضو صادق در این مورد در ۱ تا ۶ خود ۱ است.
اکنون ماکسیمال به چه معنا بود؟ ماکسیمال به معنای بزرگتر از همه نبود! بلکه به این معنا بود که بزرگتری از آن نباشد. ماکسمیال یکتا نیست وهمین باعث تعجب من است که چرا در متن پرسش نوشته‌اید «عضو» نه «اعضا»! زمانی که دلیلی بر یکتایی چیزی ندارید و نمی‌دانید یکی یا چندتا دارد می‌نویسند اعضای فلانِ مجموعه را بیابید نه عضوِ فلان مجموعه . آیا از ۱ بزرگتر هست؟ بلی، ۲. پس ۱ ماکسیمال نیست. آیا از ۲ بزرگتر هست؟ بلی، ۴. پس ۲ ماکسیمال نیست. آیا از ۳ بزرگتر هست؟ بلی، ۶. پس ۳ نیز ماکسیمال نیست. آیا از ۴ عضوی بزرگتر هست؟ خیر. پس ۴ ماکسیمال است. آیا از ۵ عضوی بزرگتر هست؟ خیر. پس ۵ ماکسیمال است. آيا از ۶ بزرگتر هست؟ خیر، پس ۶ ماکسیمال است. پس اعضای ماکسیمال S برابرند با ۴، ۵ و ۶.
اکنون برای مینیمال. یک عنصر مینیمال است اگر عنصر دیگری از آن کوچکتر نشود. مینیمال نیز لزوما یکتا نیست. با روش مشابه می‌بینیم که S یک مینیمال دارد و آن ۱ است.
نکتهٔ خیلی بدیهی این است که هر گاه ماکسیمم وجود داشته باشد، تنها یک ماکسیمال داریم. هر گاه چند ماکسیمال داشته باشیم، ماکسیمم نداریم. اما نمی‌توانیم بگوئیم که ماکسیمم وجود دارد اگر و تنها اگر یک ماکسیمال داشته‌باشیم (می‌توان مثالی معرفی کرد که یک ماکسیمال دارد ولی ماکسیمم ندارد!). نکتهٔ مشابه نیز برای مینیمم و مینیمال داریم.
