چرا عنصرهای ماکسیمال و مینیمال را تعریف میکنیم و تنها به ماکسیمم و مینیمم بسنده نمیکنیم؟

Question

انگیزهٔ تعریفِ مفهوم‌های عنصر ماکسیمال و مینیمال برای مجموعه‌های جزئا مرتب چیست؟ آیا مثالی کاربردی دارید که از این مفهوم‌ها در یک کاربرد استفاده کند و لازم باشند (نه اینکه همینطوری یک مثال از مجموعهٔ مرتب بزنیم و سپس عضوهای ماکسیمال و مینیمالش را پیدا کنیم).

Answer 1

خیلی راحت در زندگی روزمره کلی نمونه از مفاهیم بیشینه، ماکسیمم و ماکسیمال و به طور مشابه کمینه، مینیمم و مینیمال می‌توانید ببینید.

1. فکر کنید یک کالا توسط چندین شرکت یا کارخانه یا کشور تولید می‌شود. شما یک سرمایه‌دار هستید که فقط می‌توانید یکی از منبع‌های این کالا را به تصرف کامل خود دربیاورید. برای نمونه یک استعمارگر یا احتکارگر یا دولت بد هستید که از افزایش بهای کالا از رنج بیشتر مردم سود می‌برید (نیت منفی)، یا یک نیکوکار (خیّر)، وطن‌دوست یا دولت خوب هستید که از کاهش بهای کالا از رنج کمتر مردم لذت می‌برید (نیت مثبت). ¹ مسلما کاری که باید بکنید این است که منبعی را تصرف کنید که بیشترین سهم در بازار تولید این کالا را دارد. اگر یکی از این منبع‌ها از همهٔ منبع‌های دیگر سهم بیشتری را از بازار دارا باشد، آنگاه بیشترین نقش در تعیین بها (قیمت) این کالا را نیز این منبع دارد. اکنون مجموعهٔ این منبع‌ها را با رابطهٔ بیشتر یا کمتر سهم داشتن از بازار این کالا را در نظر بگیرید. اگر دقیقا یک منبع از همهٔ منبع‌ها بیشتر سهم داشته‌باشد شما یک عضو ماکسیمم دارید و با پیاده کردن نقشه‌تان پیروز (موفق) می‌شوید. ولی اگر چند منبع باشند که از بقیه سهم بیشری دارند ولی با یکدیگر در میزان سهم برابر باشند آنگاه دیگر عضو ماکسیمم ندارید، بلکه عضو ماکسیمال دارید. در این حالت شما نمی‌توانید در نقشه‌تان پیروز شوید چون چند رقیب دیگر با میزان سهم و قدرت یکسان دارید که دقیقا به اندازهٔ شما در تعیین بهای این کالا نقش دارند.

توجه کنید که زمانی که عضو ماکسیمم دارید، عضو ماکسیمال نیز دارد، ولی زمانی که عضو ماکسیمال دارید الزاما عضو ماکسیمم ندارید. اگر بیشتر از یک ماکسیمال داشته باشید، ماکسیمم ندارید. ولی داشتن یک ماکسیمال حتما داشتن ماکسیمم را نتیجه نمی‌دهد.

2. رابطهٔ آفریننده و آفریده‌شده (خالق و مخلوق) را در نظر بگیرید. الف را آفرینندهٔ ب گوئیم هر گاه ب بوسیلهٔ الف ساخته شده باشد و در این حالت ب را آفریده‌شده بوسیلهٔ الف می‌دانیم. در این حالت انسان آفرینندهٔ رایانه یا ربات یا حتی امروزه با تقریب‌زدن می‌توان گفت موجودهای زندهٔ ساخته شده در آزمایشگاه (که البته هنوز جنبه‌های اخلاقی آن باید بحث شود) می‌شماریم. انسان ممکن است توسط موجود دیگری آفریده شده باشد یا خیر. توجه کنید که موجود با مخلوق فرق دارد، موجود به معنای وجود‌داشته است یعنی «هست»، اشاره‌ای به اینکه بوسیلهٔ چیز دیگری آفریده شده ندارد. اگر توسط موجود دیگری آفریده شده‌است، آن موجود ممکن است خود آفریده‌شده بوسیلهٔ آفرینندهٔ دیگری باشد یا خیر و هیمنطور تا جایی که ادامه نداشته باشد. از سمت دیگر هم همینطور. ربات یا موجود زندهٔ ساخته شده در آزمایشگاه بوسیلهٔ انسان ممکن است برنامه‌ریزی شده باشد که موجود دیگری را بیافریند، یا اینکه به هوشی رسیده باشد که خود نیز بتواند بیافریند. و این آفریده‌شده‌ها ممکن است زنجیری از آفرینش را ایجاد کنند. همینطور مثلا اگر انسان آفریدهٔ موجود دیگری باشد، آن موجود ممکن است موجودات دیگری غیر از انسان نیز آفریده‌باشد. پس یک مجموعهٔ بزرگ فرض کنید مجموعهٔ تمام هستی‌های جهانی که در آن هستیم را با رابطهٔ آفرینش در نظر گرفته‌ایم. الف از ب بزرگ‌تر در نظر گرفته شود هر گاه الف، ب را آفریده باشد. اکنون فردی یا دینی می‌آید و تعریف می‌کند «خدا موجودی است که در رابطهٔ آفرینش از همه بزرگ‌تر باشد» در این تعریف خدا عضو ماکسیمم برای این مجموعه در نظر گرفته شده‌است. این دین یا فرد یکتاپرست است، به وجود یک خدا اعتقاد دارد. دین یا فرد دیگری می‌آید و اینگونه تعریف می‌کند «خدا موجودی است که در رابطهٔ آفرینش از او بزرگ‌تری نباشد» در این تعریف خدا عضو ماکسیمال برای این مجموعه در نظر گرفته شده‌است. این تعریف امکان چندخدایی را رد نمی‌کند، ممکن است چند موجود باشند که توسط هیچ موجود دیگری آفریده نشده‌اند که با این تعریف خدا شمرده می‌شوند. پس ببینید استفاده از مفهوم ماکسیمم مفهوم «چندخدایی» را ناممکن می‌کند و فقط به دو حالت منتهی می‌شود «خدا وجود دارد یا خدا وجود ندارد» (که به ترتیب برای اثبات باید نشان داد این مجموعه عضو ماکسیمم دارد یا ندارد). ولی استفاده از مفهوم ماکسیمال مفهوم «چندخدایی» را ناممکن نمی‌کند و به بیشتر از دو حالت منتهی می‌شود «خدا وجود دارد و یکی است، یا خدایی وجود ندارد، یا خداهایی وجود دارند» (که به ترتیب برای اثبات باید نشان داد که این مجموعه یک عضو ماکسیمال دارد یا هیچ عضو ماکسیمالی ندارد یا بیشتر از یک خدا، مثلا دو خدا یا بینهایت خدا وجود دارند).

خیلی راحت و بدیهی می‌توانید کلی نمونه از زندگی روزمره از این مفهوم‌ها پیدا کنید. مثلا در رتبه‌بندی کردن بر حسب نمره یا امتیاز در یک آزمون. آیا همیشه فقط یک فرد از بقیه نمرهٔ بیشتر می‌گیرد؟ آیا همیشه فقط یک نفر مدال طلا می‌گیرد؟ در برنامه‌نویسی و الگوریتم‌ها هم به این مفهوم‌ها زیاد برمی‌خورید.

---

1. توجه کنید پولدار (ثروتمند) بودن بد نیست، آن چیزی که آن را خوب یا بد می‌کند روشی است که با آن پولدار می‌شوید. ↩︎