چه وقتی تابع $f(x)= \frac{(b-1) x^{2}+dx-3a+1 }{ x^{2} +x+5}$ یک تابع ثابت است.

Question

اگر تابع $ f(x)= \frac{(b-1) x^{2}+dx-3a+1 }{ x^{2} +x+5} $ به ازای هر $ x $ به تابع ثابت $ y=2 $ تبدیل شود آنگاه حاصل $ \frac{a+d}{b} $ کدام است؟

1. $ 0$
2. $-\frac13$
3. $ 2$
4. $-3$

Answer 1

چون برای هر $x$ی رابطه بالا برقرار است پس می‌توان با جایگذاری $x=0$ در رابطه بالا به معادله زیر رسید

$\frac{-3a+1}{5}=2 \Rightarrow -3a+1=10 \Rightarrow a=-3 \quad \qquad \qquad \qquad $

که با اعمال این نتیجه در رابطه اصلی به رابطه زیر می‌رسیم

$\frac{(b-1)x^2+dx+10}{x^2+x+5}=2 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $

حال کافیست در این رابطه یک بار $x=1$ و یک بار $x=-1$ را جایگذاری کنیم آن‌گاه به دو معادله و دو مجهول زیر می رسیم

$$ \begin{cases} x=1 \Rightarrow b+d=5 \\ x=-1 \Rightarrow b-d=1 \end{cases}$$ با حل این دستگاه مقادیر $b=3$ و $d=2$ به دست می آید و با جایگذاری این مقادیر؛ عبارت خواست شده برابر $\frac{-1}{3}$ می‌باشد که گزینه $2$ است.

Answer 2

وقتی دو تابع برابرند که هم دامنه ی برابر داشته باشند هم ضابطه ی برابر داشته باشند.

از دو روش جواب رو میتونیم بدست بیاوریم

روش اول:

طبق آنچه گفته شد ضابطه ها باید برابر باشد لذا قرار میدهیم:

$$ \frac{(b-1) x^{2}+dx-3a+1 }{ x^{2} +x+5} =2\\ \Rightarrow (b-1) x^{2}+dx-3a+1=2x^{2} +2x+10 $$ که با برابر قرار دادن ضرایب داریم: $$ \begin{cases}b-1=2 \Rightarrow b=3 \\d=2 \\ -3a+1=10 \Rightarrow a=-3 \end{cases}$$

پس با جایگذاری در عبارت خواسته شده مقدار $- \frac{1}{3} $ بدست می آید یعنی گزینه ی $ 2$ صحیح است.

روش دوم:

باید صورت دقیقا دو برابر مخرج باشد تا با ساده کردن قسمت هایی که $x$ داره فقط $2$ بماند. لذا ضریب $ x^{2} $ باید برابر $2$باشد یعنی $b-1=2 \Rightarrow b=3 $ ، ضریب $ x $ هم برابر $2$ یعنی $d=2 $ و مقدارثابت برابر $10$ باشد یعنی $-3a+1=10 \Rightarrow a=-3 $ تا پس از فاکتورگیری از $2$ در صورت عبارت صورت با مخرج ساده بشه و فقط $2$ بماند.

پس با جایگذاری در عبارت خواسته شده مقدار $- \frac{1}{3} $ بدست می آید یعنی گزینه ی $ 2$ صحیح است.