حاصل $S_{1395}+S_{1396}$ زمانیکه $S_n=1^2-2^2+3^2+\cdots+(-1)^{n-1}n^2$ بیابید.

Question

اگر $S_n=1^2-2^2+3^2+\cdots+(-1)^{n-1}n^2$ باشد، $S_{1395}+S_{1396}$ کدام است؟

الف) $-1397$ ب)$1397$ جیم) $1395$ دال) $-1395$

تلاش من:

من هر دو عدد فرد و زوجی رو که به توان رسیدن اتحاد مزدواج گرفتم و بعد از دوبار که اینکارو کردم به این نتیجه رسیدم که اگر اخرین عدد ما زوج باشه،حاصل منفی مجموع اعداد هستش تا همون عدد زوج و اگر اخرین عدد ما فرد بود عدد ما برابر با منفی مجموع اعداد قبل از اخرین عدد و مثبت مربع همون عدد فرد.از این راه دوعبارت رو جدا حساب کردم و در نهایت جمع زدم و به منفی $1396$ رسیدم که تو گزینه ها نبود.

Comments

احتمالا جوابتون درسته. چون جواب آخر قطعا زوجه و تو گزینه ها عدد زوج نیست.

---

جواب شما درسته

Answer 1

اولن می دانیم که:

$1^2+2^2+...+n^2= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$ \Rightarrow S_n=1^1-2^2+3^2+...+(-1)^{n-1}n^2=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2(2^2+4^2+...+(2[ \frac{n}{2} ])^2$

$= \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)-2 \times 2^3(1^2+2^2+...+[ \frac{n}{2} ]^2)$

$= \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)-2^3( \frac{1}{6})[ \frac{n}{2} ]([ \frac{n}{2} ]+1)(2[ \frac{n}{2} ]+1)$

$ \Rightarrow S_{1395}+S_{1396}= \frac{1}{6}(1395)(1396)(2791)-2^3( \frac{1}{6} )(697)(698)(1395)$

$+\frac{1}{6}(1396)(1697)(2793)-2^3( \frac{1}{6} )(698)(699)(1397)=-1396$

$ \Box $