حاصل عددی عبارت $\tan^2(1°)+\tan^2(3°)+\cdots+\tan^2(89°) $ را بیابید

Question

مقدار عددی عبارت زیر را بیابید. $$\tan^2(1°)+\tan^2(3°)+\cdots+\tan^2(89°) $$

این سؤال رو سعی کردم از طریق برابری تانژاتت اولین مورد و کتانژانت آخرین مورد محاسبه کنم و یا ایده‌ای به این شکل استفاده کنم (جمع اولین و آخرین مورد).

یا حداقل 2 مورد رو پیدا کنم که جمعشون عددی رند بشه. اما متأسفانه نتیجه نداد. پاسخ هم دقیقاً برابر 4005 می‌شود. ولی دلیلش رو نمی‌دونم.

Comments

medanaee@ به نظرم حق با شماست. متشکرم

---

https://zhidao.baidu.com/question/399596222/answer/979579983.html
منبع انگلیسی زبان نیست اما میتوانید از اکستنشن گوگل ترنسلیت استفاده کنید
به کمک روابط
tan(a)+tan(90-a)=cot(a)+cot(90-a)=2/sin(2a)
و به توان 2 رسوندن و منهای 2 کردن طرفین معادله ها میتوانید
tan²1+tan²2+...+tan²89 را به مجموع دو عبارت tan²1+tan²3+...+tan²89 و tan²2+tan²4+...+tan²88 تبدیل کنید
نوشتن راه حل اون هم به کمک mathjax زمانبره
احتمالا این کار رو در آینده انجام بدم

---

مرجعتون برای این سوال چیه ؟

---

@moh_amin این سوال رو معلممون داده حقیقتا مرجعش رو نمیدونم. در مورد لینکی که فرستادید به سختی بازش کردم ولی به صورت به هم ریخته بود و چیزی از اثبات متوجه نشدم.

با استفاده از ایده یک سوال دیگه تونستم با یک راه نسبتا پیچیده این سوال رو حل کنم و جواب رو زیر همین سوال به صورت لینک یک فایل PDF قرار دادم. اما هنوز تایید نشده. هرموقع تایید شد میتونید ببینید.

---

پاسخ کامل در فایل زیر موجود هست.

https://www.uplooder.net/files/65d00a42214ccfabf4715a046bff9546/tan.pdf.html