حاصل عبارت زیر را به ساده ترین فرم عددی بدست آورید. $$\sum^{7}_{i=1}\tan^2(\frac{i \pi }{16})$$ - راهنمایی: حاصل عبارت بالا یک عدد گویاست.

Question

حاصل عبارت زیر را به‌صورت ساده‌ترین فرم عددی به‌دست آورید. $$\sum^{7}_{i=1}\tan^2\big(\frac{i \pi }{16}\big)$$

• راهنمایی: حاصل عبارت بالا یک عدد گویاست.

Answer 1

$tan^{2}( \frac{\pi}{16})+tan^{2}( \frac{2\pi}{16})+tan^{2}( \frac{3\pi}{16})+tan^{2}( \frac{4\pi}{16})+tan^{2}( \frac{5\pi}{16})+tan^{2}( \frac{6\pi}{16})+tan^{2}( \frac{7\pi}{16})$

چون زوایای اولی و هفتمی ، دومی و ششمی ، سومی و پنجمی متممند و وسطی هم که یک میشود به این ترتیب :

$=tan^{2}( \frac{\pi}{16})+cot^{2}( \frac{\pi}{16})+tan^{2}( \frac{3\pi}{16})+cot^{2}( \frac{3\pi}{16})+tan^{2}( \frac{5\pi}{16})+cot^{2}( \frac{5\pi}{16}) +1$

$= \frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{8})}-2+\frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{4})}-2+\frac{4}{sin^{2}( \frac{3\pi}{8})}-2+1$

اما زوایای $\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}$ نیز متممند

$= \frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{8})}+8+\frac{4}{cos^{2}( \frac{3\pi}{8})}-5=\frac{16}{sin^{2}( \frac{\pi}{4})}+3=\color{red}{35}$

Comments

راه حلتان بسیار زیباست. علاوه بر زیبایی مختصر و کامل است.