به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+7 امتیاز
56 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

حاصل عبارت زیر را به‌صورت ساده‌ترین فرم عددی به‌دست آورید. $$\sum^{7}_{i=1}\tan^2\big(\frac{i \pi }{16}\big)$$

  • راهنمایی: حاصل عبارت بالا یک عدد گویاست.

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط good4us (7,001 امتیاز)
انتخاب شده توسط Dana_Sotoudeh
 
بهترین پاسخ
$tan^{2}( \frac{\pi}{16})+tan^{2}( \frac{2\pi}{16})+tan^{2}( \frac{3\pi}{16})+tan^{2}( \frac{4\pi}{16})+tan^{2}( \frac{5\pi}{16})+tan^{2}( \frac{6\pi}{16})+tan^{2}( \frac{7\pi}{16}) $

چون زوایای اولی و هفتمی ، دومی و ششمی ، سومی و پنجمی متممند و وسطی هم که یک میشود به این ترتیب :

$=tan^{2}( \frac{\pi}{16})+cot^{2}( \frac{\pi}{16})+tan^{2}( \frac{3\pi}{16})+cot^{2}( \frac{3\pi}{16})+tan^{2}( \frac{5\pi}{16})+cot^{2}( \frac{5\pi}{16}) +1 $
$= \frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{8})}-2+\frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{4})}-2+\frac{4}{sin^{2}( \frac{3\pi}{8})}-2+1 $

اما زوایای $\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}$ نیز متممند

$= \frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{8})}+8+\frac{4}{cos^{2}( \frac{3\pi}{8})}-5=\frac{16}{sin^{2}( \frac{\pi}{4})}+3=\color{red}{35} $
توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)
+4
راه حلتان بسیار زیباست. علاوه بر زیبایی مختصر و کامل است.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...