$tan^{2}( \frac{\pi}{16})+tan^{2}( \frac{2\pi}{16})+tan^{2}( \frac{3\pi}{16})+tan^{2}( \frac{4\pi}{16})+tan^{2}( \frac{5\pi}{16})+tan^{2}( \frac{6\pi}{16})+tan^{2}( \frac{7\pi}{16}) $
چون زوایای اولی و هفتمی ، دومی و ششمی ، سومی و پنجمی متممند و وسطی هم که یک میشود به این ترتیب :
$=tan^{2}( \frac{\pi}{16})+cot^{2}( \frac{\pi}{16})+tan^{2}( \frac{3\pi}{16})+cot^{2}( \frac{3\pi}{16})+tan^{2}( \frac{5\pi}{16})+cot^{2}( \frac{5\pi}{16}) +1 $
$= \frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{8})}-2+\frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{4})}-2+\frac{4}{sin^{2}( \frac{3\pi}{8})}-2+1 $
اما زوایای $\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}$ نیز متممند
$= \frac{4}{sin^{2}( \frac{\pi}{8})}+8+\frac{4}{cos^{2}( \frac{3\pi}{8})}-5=\frac{16}{sin^{2}( \frac{\pi}{4})}+3=\color{red}{35} $
