به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
371 بازدید
در دبیرستان توسط ایلیا افکاری (-3 امتیاز)

شکل زیر نمودار تابع $f(x)=asin²(bx-π/3)-c$ می باشد .اگر مساحت مثلث OAB برابر $π/6$ باشد و فاصله بین دو نقطه ماکزیمم متوالی برابر $π/2$ باشد و $c$ هم صفر نباشد توضیحات تصویر ، حاصل $a+b+c$ چقدر است؟

مرجع: این سوال از یک کتاب کمک درسی قدیمی هست . مبتکران سال 94 .
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@ایلیاـافکاری کتاب چه قدیمی باشد چه جدید، دارای مشخصات است. دستِ‌کم باید عنوانِ کتاب (عنوان دقیق، اسم کتاب نه اینکه چجوری این کتاب را صدا می‌زنید، اسمِ کتاب بر روی کتاب نوشته شده است!)، نام نویسنده (یا نویسنده‌ها) نیز به غیر از نام انتشارات و سال چاپ اشاره شود. گاهی باید شماره صفحه را هم بیاورید مانند این مورد که به متن از صفحهٔ خاصی اشاره دارید و نه کل کتاب.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط Danial Rube (325 امتیاز)
ویرایش شده توسط Danial Rube

اول از همه با توجه به رابطه :

$$ Sin^{2}(x) = \frac{1 - Cos(2x)}{2} $$

ضابطه تابع رو به شکل زیر می نویسیم:

$$f(x) = -\frac{a}{2}Cos(2bx - \frac{2 \pi }{3}) + \frac{a}{2} - c $$

طبق فرض سوال داریم:

$$ T = \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2|b|} \Rightarrow |b| = 2 $$

حالا برای تعیین مثبت یا منفی بودن b دو راه داریم، یا با استفاده از مفهوم انتقال جلو میریم یا از مشتق و شیب خط مماس استفاده می کنیم. من راه دوم رو استفاده می کنم:

مشتق تابع f به صورت زیر است:

$$f' = abSin(2bx -\frac{2\pi}{3}) $$

با توجه به شکل تابع واضح است که شیب خط مماس در نقطه ی 0 منفی و در نقطه ی A برابر صفر می باشد. پس می توان نوشت:

$$ f' (0) = abSin(-\frac{2\pi}{3}) < 0 $$

مقدار سینوس بدست آمده کوچک تر از صفر است پس ab بزرگ تر از صفر می باشد( a و b باید هم علامت باشند). همچنین می توان نوشت :

$$f' (A) = abSin(2bA -\frac{2\pi}{3}) = 0$$

با توجه به اینکه A اولین نقطه ای است که مقدار مشتق تابع صفر شده و با در نظر گرفتن a و b مخالف صفر، در نتیجه می توان نوشت :

$$Sin(2bA -\frac{2\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 2bA -\frac{2\pi}{3} = 0$$

حال اگر b منفی باشد آنگاه A نیز باید منفی بوده که با توجه به شکل تابع، A عددی مثبت است؛ پس b باید مثبت باشد و در نتیجه a نیز مثبت می باشد. در نهایت مقدار b برابر با 2 بدست می آید.

b = 2

حال با توجه به اینکه ماکزیمم تابع برابر صفر می باشد می توان نوشت :

$$ \frac{a}{2} -c + |-\frac{a}{2}| = 0 = a - c \Rightarrow a = c $$

a = c

از قبل داشتیم که مقدار f' در نقطه A صفر است، پس :

$$Sin(4A - \frac{2\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 4A - \frac{2\pi}{3} = 0 $$ $$\Rightarrow A =\frac{\pi}{6} = OA$$

از روی مساحت مثلث داده شده می نویسیم:

$$ S_{OAB} = \frac{\pi}{6} = 0.5(OA)(AB) $$

قدر مطلق مینیمم تابع برابر AB می باشد که برابر است با :

$$ AB = | -|\frac{-a}{2}| + \frac{a}{2} - c | = c$$ $$S_{OAB} = \frac{\pi}{6} = 0.5(\frac{\pi}{6})(c) \Rightarrow c = 2$$ $$c = 2 \Rightarrow a = 2$$

بنابر این گزینه صحیح گزینه 1 می باشد:

$$a + b + c = 2 + 2 + 2 = 6$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...