اول از همه با توجه به رابطه :
$$ Sin^{2}(x) = \frac{1 - Cos(2x)}{2} $$
ضابطه تابع رو به شکل زیر می نویسیم:
$$f(x) = -\frac{a}{2}Cos(2bx - \frac{2 \pi }{3}) + \frac{a}{2} - c $$
طبق فرض سوال داریم:
$$ T = \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2|b|} \Rightarrow |b| = 2 $$
حالا برای تعیین مثبت یا منفی بودن b دو راه داریم، یا با استفاده از مفهوم انتقال جلو میریم یا از مشتق و شیب خط مماس استفاده می کنیم. من راه دوم رو استفاده می کنم:
مشتق تابع f به صورت زیر است:
$$f' = abSin(2bx -\frac{2\pi}{3}) $$
با توجه به شکل تابع واضح است که شیب خط مماس در نقطه ی 0 منفی و در نقطه ی A برابر صفر می باشد. پس می توان نوشت:
$$ f' (0) = abSin(-\frac{2\pi}{3}) < 0 $$
مقدار سینوس بدست آمده کوچک تر از صفر است پس ab بزرگ تر از صفر می باشد( a و b باید هم علامت باشند).
همچنین می توان نوشت :
$$f' (A) = abSin(2bA -\frac{2\pi}{3}) = 0$$
با توجه به اینکه A اولین نقطه ای است که مقدار مشتق تابع صفر شده و با در نظر گرفتن a و b مخالف صفر، در نتیجه می توان نوشت :
$$Sin(2bA -\frac{2\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 2bA -\frac{2\pi}{3} = 0$$
حال اگر b منفی باشد آنگاه A نیز باید منفی بوده که با توجه به شکل تابع، A عددی مثبت است؛ پس b باید مثبت باشد و در نتیجه a نیز مثبت می باشد. در نهایت مقدار b برابر با 2 بدست می آید.
b = 2
حال با توجه به اینکه ماکزیمم تابع برابر صفر می باشد می توان نوشت :
$$ \frac{a}{2} -c + |-\frac{a}{2}| = 0 = a - c \Rightarrow a = c $$
a = c
از قبل داشتیم که مقدار f' در نقطه A صفر است، پس :
$$Sin(4A - \frac{2\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 4A - \frac{2\pi}{3} = 0 $$
$$\Rightarrow A =\frac{\pi}{6} = OA$$
از روی مساحت مثلث داده شده می نویسیم:
$$ S_{OAB} = \frac{\pi}{6} = 0.5(OA)(AB) $$
قدر مطلق مینیمم تابع برابر AB می باشد که برابر است با :
$$ AB = | -|\frac{-a}{2}| + \frac{a}{2} - c | = c$$
$$S_{OAB} = \frac{\pi}{6} = 0.5(\frac{\pi}{6})(c) \Rightarrow c = 2$$
$$c = 2 \Rightarrow a = 2$$
بنابر این گزینه صحیح گزینه 1 می باشد:
$$a + b + c = 2 + 2 + 2 = 6$$
