از ۲۵ نفر ۱۸، ۲۰، ۲۲ نفر به ترتیب سه کلاس شرکت کردهاند. کمینه و بیشنه تعدادی که ۳ کلاس، هیچ کلاس، دستکم ۲ کلاس ثبتنام کردهاند چند است؟

Question

برای یک کلاس 25 نفری، سه کلاس فوق العاده گذاشته‌اند. هر فرد می‌تواند بیش از یک کلاس نیز ثبت‌نام کند. اگر در هر یک از این کلاس‌ها به ترتیب ۱۸، ۲۰ و ۲۲ نفر ثبت‌نام کرده باشد، کدام گزینه درست است؟

1. همهٔ دانش‌آموزها دست‌کم یک کلاس ثبت‌نام کرده‌اند.
2. دست‌کم ۱۰ نفر در هر سه کلاس ثبت نام کرده‌اند.
3. دست‌کم ۵ نفر هیچ کلاسی ثبت‌نام نکرده‌است.
4. بیشنه ۱۵ نفر در دو کلاس ثبت‌نام کرده‌است.

تلاش من:گزینه یک و سه بنظرم واضحا حذف میشن(شایدم اشتباه میکنم)برای گزینه دو گفتم از25نفر7نفر در کلاس اول ثبت نام نکردند.در بدترین حالت همین هفت نفر با سیزده نفر از هجده نفر قبلی در کلاس دوم شرکت کردند که5نفر میمونن و در کلاس سوم هم 5نفر باقی مانده و7نفری که کلاس اول ثبت نام نکردند و10نفر از سیزده نفر قبلی شرکت کردند پس این گزینه دربدترین حالت(حداقل)درست میشه.با همین روش،گزینه چهار هم بنظرم حداقل رو گفته نه حداکثرو.

Answer 1

• گزینهٔ یک اشتباه است زیرا:

می‌تواند مجموعهٔ دانش‌آموزهایی که کلاس یک و مجموعهٔ دانش‌آموزهایی که کلاس دو را شرکت‌کرده‌اند زیرمجموعهٔ مجموعهٔ دانش‌آموزهایی باشد که کلاس سه را شرکت‌کرده‌اند. پس الزامی ندارد که همهٔ دانش‌آموزها کلاس فوق‌العاده ثبت‌نام کرده‌باشند.

• گزینهٔ دو درست است زیرا:

۷ نفر کلاس یک، ۵ نفر کلاس دو، ۳ نفر کلاس سه را شرکت نکرده‌اند جمع اینها ۱۵ می‌شود. پس $25-15=10$ دانش‌آموز حتما در هر سه کلاس هستند پس دست‌کم ۱۰ دانش‌آموز در سه کلاس باشند جملهٔ درستی است.

• گزینهٔ سه نادرست است زیرا:

کافیست ۳ دانس‌آموزی که کلاس سه را شرکت نکرده‌اند در کلاس‌های دیگر حضور داشته‌باشند که چون $3< 20+18$ این کار ممکن است.

• گزینهٔ چهار نادرست است زیرا:

۲۲ دانش‌آموز را در کلاس سه ثبت‌نام کرده‌اند. ۳ دانش‌آموزی که در این کلاس ثبت‌نام نکرده‌اند را در کلاس دو ثبت‌نام کنید. ۱۷ نفر باقیمانده برای کلاس دو را از میان دانش‌آموزانی که کلاس سه را ثبت‌نام کرده‌اند انتخاب کنید. بنایراین تا اینجا دست‌کم ۱۷ نفر در دو کلاس ثبت‌نام شده‌اند. ۳ نفری که تنها در کلاس دو و ۵ نفری که تنها در کلاس سه ثبت‌نام هستند را در کلاس یک ثبت‌نام کنید. ۱۰ نفر باقیمانده برای کلاس یک را از میان دانش‌آموزانی که دو کلاس دیگر را ثبت‌نام بودند انتخاب کنید. اینگونه هر دانش‌آموزی دست‌کم در دو کلاس حضور دارد. پس بیشینه (حداکثر) ممکن برای تعداد دانش‌آموزهایی که دست‌کم در دو کلاس باشند ۱۵ نیست بلکه ۲۵ است.

• و اما اینکه گفته‌اید کمینه (حداقل) ممکن برای تعداد دانش‌آموزهایی که دست‌کم در دو کلاس باشند ۱۵ است، نیز اشتباه است. برای اتخاذ کمینه ۳ نفری که کلاس سه شرکت‌نکرده‌اند را در کلاس دو قرار دهید. ۱۷ نفر در هر دو کلاس دو و سه هستند. اکنون این ۱۷ نفر را در کلاس یک نیز ثبت نام کنید. سپس یک نفر باقیمانده برای کلاس یک را هر فردی که می‌خواهید از سایر دانش‌‌آموزها انتخاب کنید. در این حالت ۱۸ نفر دست‌کم در دو کلاس ثبت‌نام کرده‌اند. از این عدد کمتر نمی‌توانید بسازید.