سه نفر به تعدادی سکه دارند. هر دفعه یکی از آنها به دو نفر دیگر همان مقدار که سکه دارند، سکه می دهد. نفر آخر چند سکه دارد؟

Question

سه فرد را به ترتیب $A$ و $B$ و $C$ بنامید. هر کدام به ترتیب تعداد $a$ و $b$ و $c$ سکه دارند. $A$ به $B$ و $C$ به همان اندازه که سکه دارند، سکه می‌دهد. سپس $B$ به $A$ و $C$ به همان مقدار که سکه دارند، سکه می‌دهد. سر انجام $C$ به $A$ و $B$ به همان اندازه که سکه دارند، سکه می‌دهد. تعداد سکه‌های $C$ بر حسب $a$ و $b$ و $c$ چقدر است؟

Answer 1

هر بار تعداد سکه ها را به وسیله ماتریس نمایش می دهیم در ابتدا داریم:

$$\begin{bmatrix}A & B&C \\a & b&c \\ \end{bmatrix}$$

بعد $A $ به $B $ به مقدار $ b $ و به $C $ مقدار $c $ سکه می دهد لذا از خودش $ b+c $ کم می شود و به $ B$ مقدار $b $ و به $C $ مقدار $c $ اضافه می شود پس داریم:

$$\begin{bmatrix}A & B&C \\a-b-c & 2b&2c \\ \end{bmatrix}$$

بعد $B $ به $A $ به مقدار $ a-b-c $ و به $C $ مقدار $2c $ سکه می دهد لذا از خودش $ a-b-c+2c=a-b+c $ کم می شود و به $ A$ مقدار $a-b-c $ و به $C $ مقدار $2c $ اضافه می شود پس داریم:

$$\begin{bmatrix}A & B&C \\2a-2b-2c & 2b-a-c+b&4c \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A & B&C \\2a-2b-2c & 3b-a-c&4c \\ \end{bmatrix}$$

بعد $C $ به $A $ به مقدار $ 2a-2b-2c $ و به $B $ مقدار $3b-a-c $ سکه می دهد لذا از خودش $ 2a-2b-2c+3b-a-c=a+b-3c $ کم می شود و به $ A$ مقدار $2a-2b-2c $ و به $B $ مقدار $3b-a-c $ اضافه می شود پس داریم:

$$\begin{bmatrix}A & B&C \\4a-4b-4c & 6b-2a-2c&4c-a-b+3c \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A & B&C \\4a-4b-4c & 6b-2a-2c&7c-a-b \\ \end{bmatrix}$$

پس جواب سوال برابر است با $ 7c-a-b $

Comments

بخاطر جوابتون متشکرم ... راستش خودم هم تا آخر مرحلۀ سوم حل این سوال رو حل کردم که دیگه از اونجا به بعد چند تا اشتباه داشتم تو پاسخنامۀ ظاهرا تشریحی هم فقط گزینۀ درست رو مینویسه . به هر صورت متشکرم .