$$\begin{align}&\lim_{x\to0}\dfrac{\tan 5x -\tan 3x -\tan x}{x^3}=\dfrac{(\tan 5x-5x)- (\tan 3x-3x )-(\tan x-x)+(x)}{x^3}\\&=\dfrac{125(\tan 5x-5x)}{(5x)^3}-\dfrac{27(\tan 3x-3x)}{(3x)^3}-\dfrac{\tan x-x}{x^3}+\dfrac{x}{x^3} \\ &=\dfrac{125}{3} -\dfrac{27}{3}-\dfrac{1}{3} + \infty =\infty\end {align}$$
توجه کنید که میتوان ثابت کرد ( میتوانید با استفاده از کاربرد مشتق و ایجاد کردن نامساوی مناسب برای فراهم شدن شرایط فشردگی و استفاده کردن از آن و یا اینکه حد زیر رو به عنوان یک اصل بپذیرید ) :
$$\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x-x}{x^3}=\dfrac{1}{3}$$
