اگر $ \mu (E) < \delta $ آنگاه $| \int_E fd \mu|< \epsilon $

Question

اگر $f \in L^{1}(X) $ و $ \mu $ یک اندازه باشد . تعریف می کنیم $ \nu (E)= \int_E fd \mu $ . ثابت کنید که اگر $ \varepsilon > 0 $ داده شده باشد یک $ \delta $ هست که اگر $ \mu (E) < \delta $ آنگاه $ \nu (E) < \varepsilon $

Comments

لطفا عنوان مناسب برای سوالتونو بنویسید.
در قسمت عنوان سوال و دیدگاه اگر میخواید ریاضی بنویسید باید از $\$\$$ استفاده کنید نه از <math>$\$\$</math>.
لطفا سوالتونو ویرایش کنید.

Answer 1

قضیه: فرض کنید $ \nu $ یک اندازه علامتدار متناهی و $ \mu $ یک اندازه مثبت روی $(X,\mathcal M) $ باشند. در اینصورت $ \nu \ll \mu$ ( یعنی $ \nu $ نسبت به $ \mu $ پیوسته مطلق است) اگر و تنها اگر به ازای هر $ \epsilon>0$ یک $\delta>0 $ موجود باشد به طوریکه : $$ \mu(E)< \delta \Rightarrow |\nu(E)|< \delta $$

اثبات این قضیه رو میتونید در کتاب فولند فصل سوم پیدا کنید.

حالا از طرفی میدونیم که اندازه علامت دار $ \nu $ که به صورت $\nu(E)=\int_E fd\mu $ تعریف می شود نسبت به $\mu $ مطلقا پیوسته است. لذا از قضیه بالا مساله شما نتیجه می شود.